Per un pelo
Tutto ok... tranne l'ultimissimo passaggio. Vi metto tutto il procedimento così mi dite se ho sbagliato prima...
$y'' = (y + 1)^2 + 2((y')^2)/(y + 1)
$y(0) = 1
$y'(0) = 0
Pongo $y'(x) = u(y(x))$ e
$u u' = (y + 1)^2 + 2(u^2)/(y + 1)
Che è un'equazione di Bernoulli. Pongo $z = u^2$ quindi
$z' = 2[(2z)/(y + 1) + (y + 1)^2] = 4z/(y + 1) + 2(y + 1)^2$
$z = e^(4int1/((1+y))dy){2int(y+1)^2e^(-4int1/(t+1)dt)dy + C}$
Svolgendo i conti otteniamo
$z = C(y+1)^4-2(y+1)^3$
$u = sqrt(C(y+1)^4-2(y+1)^3)$
Usiamo $y' = sqrt(C(y+1)^4-2(y+1)^3)$ per trovare C sostituendo i dati iniziali e ottenendo
$0 = sqrt(C2^4 - 2*2^3)
$0 = sqrt(16C - 16)
$C = 1
Continuiamo col porre $(dy)/(dx) = sqrt((y+1)^4-2(y+1)^3)
$int dy/(sqrt((y+1)^4-2(y+1)^3)) = dx + C_2
A questo punto per trovare $C_2$ faccio la sostituzione con i valori noti... e mi viene una divisione per zero nell'integrale, integrale che tra l'altro è abbastanza improbo da risolvere.. voi che fareste?
$y'' = (y + 1)^2 + 2((y')^2)/(y + 1)
$y(0) = 1
$y'(0) = 0
Pongo $y'(x) = u(y(x))$ e
$u u' = (y + 1)^2 + 2(u^2)/(y + 1)
Che è un'equazione di Bernoulli. Pongo $z = u^2$ quindi
$z' = 2[(2z)/(y + 1) + (y + 1)^2] = 4z/(y + 1) + 2(y + 1)^2$
$z = e^(4int1/((1+y))dy){2int(y+1)^2e^(-4int1/(t+1)dt)dy + C}$
Svolgendo i conti otteniamo
$z = C(y+1)^4-2(y+1)^3$
$u = sqrt(C(y+1)^4-2(y+1)^3)$
Usiamo $y' = sqrt(C(y+1)^4-2(y+1)^3)$ per trovare C sostituendo i dati iniziali e ottenendo
$0 = sqrt(C2^4 - 2*2^3)
$0 = sqrt(16C - 16)
$C = 1
Continuiamo col porre $(dy)/(dx) = sqrt((y+1)^4-2(y+1)^3)
$int dy/(sqrt((y+1)^4-2(y+1)^3)) = dx + C_2
A questo punto per trovare $C_2$ faccio la sostituzione con i valori noti... e mi viene una divisione per zero nell'integrale, integrale che tra l'altro è abbastanza improbo da risolvere.. voi che fareste?
Risposte
Occorre integrare prima di sostituire .
L'equazione si puo' riscrivere cosi':
$int (dy)/(|y+1|sqrt((y+1)(y-1)))=+-x+C_2$
Occupiamoci ora solo dell'integrale e facciamo la sotituzione:
$sqrt((y+1)(y-1))=(y+1)t$ da cui ricaviamo :
$t=sqrt((y-1)/(y+1)),y=(1+t^2)/(1-t^2),dy=(4t)/(1-t^2)^2dt$
Sostituendo e facendo i calcoli si trova che l'integrale e' uguale
proprio a t e dunque:
$sqrt((y-1)/(y+1))=+-x+C_2$
Imponendo le condizioni inziali si ha che C_2=0 e pertanto
ricavando la y risulta:
$y=(1+x^2)/(1-x^2)$ che e' la soluzione del problema di Cauchy iniziale.
karl
L'equazione si puo' riscrivere cosi':
$int (dy)/(|y+1|sqrt((y+1)(y-1)))=+-x+C_2$
Occupiamoci ora solo dell'integrale e facciamo la sotituzione:
$sqrt((y+1)(y-1))=(y+1)t$ da cui ricaviamo :
$t=sqrt((y-1)/(y+1)),y=(1+t^2)/(1-t^2),dy=(4t)/(1-t^2)^2dt$
Sostituendo e facendo i calcoli si trova che l'integrale e' uguale
proprio a t e dunque:
$sqrt((y-1)/(y+1))=+-x+C_2$
Imponendo le condizioni inziali si ha che C_2=0 e pertanto
ricavando la y risulta:
$y=(1+x^2)/(1-x^2)$ che e' la soluzione del problema di Cauchy iniziale.
karl
Grazie Karl!! E' che mi sono già arrugginito un pò con gli integrali e non mi veniva la sostituzione giusta 
grazie mille...
grazie mille...
Un secondo... non torna 4t l'integrale?
No,e' proprio t :rivedi i calcoli.
Del resto la soluzione finale y=(1+x^2)/(1-x^2) e' quella
che soddisfa l'equazione differenziale data,come puoi
verificare e come ho gia' fatto io.
karl
Del resto la soluzione finale y=(1+x^2)/(1-x^2) e' quella
che soddisfa l'equazione differenziale data,come puoi
verificare e come ho gia' fatto io.
karl
E quella costante 4 nel dy come si semplifica?
Allora :
$1+y=1+(1+t^2)/(1-t^2)=2/(1-t^2)$
$sqrt((y+1)(y-1))=sqrt( ((1+t^2)/(1-t^2)+1)((1+t^2)/(1-t^2)-1))=sqrt((2/(1-t^2))((2t^2)/(1-t^2)))=(2t)/(1-t^2)$
Pertanto l'integrale L diventa:
$L= int1/((2/(1-t^2))((2t)/(1-t^2)))(4t)/((1-t^2)^2)dt=intdt=t$
karl
$1+y=1+(1+t^2)/(1-t^2)=2/(1-t^2)$
$sqrt((y+1)(y-1))=sqrt( ((1+t^2)/(1-t^2)+1)((1+t^2)/(1-t^2)-1))=sqrt((2/(1-t^2))((2t^2)/(1-t^2)))=(2t)/(1-t^2)$
Pertanto l'integrale L diventa:
$L= int1/((2/(1-t^2))((2t)/(1-t^2)))(4t)/((1-t^2)^2)dt=intdt=t$
karl
Si hai ragione. Grazie.
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