Per Ubermensch

[Marco214]

Ascolta volevo chiederti una cosa.

Il teorema fondamentale delle successioni monotone non riesco a trovarlo sul Libro di teoria del Marcellini Sbordone.

L'enunciato dovrebbe essere il seguente:

Una successione monotona limitata superiormente ammette come limite il proprio estremo superiore.

E viceversa: una successione monotona limitata inferiormente ammette come limite il proprio estremo inferiore.

[Principe2]

in questo momento non ho opportunità di consultare il libro, quindi ti farò sapere se c'è e a che pagina, nel frattempo posso dimostrartelo:
premetto che il tuo enunciato non è corretto, infatti se consideri la successione a(n)=n, è limitata inferiormente ma diverge positivamente.
l'enunciato corretto è il seguente: una successione monotona crescente ammette sempre limite ed è l'estremo superiore; cosa analoga se è monotona decrescente.
dimostrazione:
se sup=+oo , essendo la successione strettamente crescente, per ogni n fissato, risulta a(n)n, ne consegue che la successione tende a +oo che è l'estremo sup.
se sup è finito, detto E, allora, per le proprietà del sup, comunque scelto "e">0 esiste a(n) tale che a(n)>E-e
d'altra parte, essendo E l'estremo superiore, si ha a(n) in conclusione hai E-e cosa analoga si ha nel caso dell'estremo inferiore. puoi dimostrarlo tranquillamente da solo.
ciao, ubermensch

[Marco214]

Grazie Ubermensch. Chiara come sempre;-).

Alla prossima!

[Principe2]

comunque si trova a pag. 79, la dimostrazione è molto simile alla mia, forse un pò più rigorosa, ovviamente!
ciao, ubermensch