Per stabilire dove una funzione è derivabile parzialmente...
Per trovare cioè l'insieme dei punti in cui una funzione in due variabili è derivabile parzialemente come mi devo comportare?...devo trovare il dominio della funzione stessa ? Lo chiedo perche l'argomento non mi è molto chiaro..... la condizione dovrebbe essere che dato $(x0,y0)$ , $x0$ dev' essere di accumulazione per la sezione di $X$ (insieme ) con la retta di equazione $y=y0$ (quando tale retta interseca $X$ ovviamente ) ma essendo $y$ arbitrario la sezione non cambia continuamente?
Non so se sono stato chiaro nell' esprimere il mio disagio....comunque attendo fiducioso una risposta
Non so se sono stato chiaro nell' esprimere il mio disagio....comunque attendo fiducioso una risposta
Risposte
Mettiti pure a tuo agio.
Partiamo dalle funzioni di una variabile. Per vedere se una funzione (definita su $X$) è derivabile in $x_0$, devi vedere se esiste finito il limite del rapporto incrementale.
Ovviamente per avere il rapporto incrementale $f$ deve essere definita in $x_0$.
Dopo di che, per fare il [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/tex], occorre che $x_0$ sia di accumulazione per $X$, l'insieme di definizione di $f$.
Ebbene, quando sei interessato alla derivata parziale di una funzione di due o più variabili non fai che ripetere le stesse cose.
Ad esempio, per la derivata parziale rispetto ad $x$ di una funzione di due variabili nel punto $(x_0,y_0)$, non fai altro che studiare la derivabilità della funzione di una variabile che ottieni restringendo la tua $f$ data alla retta di equazione $y = y_0$. E da qui ti ritrovi le condizioni di cui parlavi (di accumulazione per le "sezioni"...).
Partiamo dalle funzioni di una variabile. Per vedere se una funzione (definita su $X$) è derivabile in $x_0$, devi vedere se esiste finito il limite del rapporto incrementale.
Ovviamente per avere il rapporto incrementale $f$ deve essere definita in $x_0$.
Dopo di che, per fare il [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/tex], occorre che $x_0$ sia di accumulazione per $X$, l'insieme di definizione di $f$.
Ebbene, quando sei interessato alla derivata parziale di una funzione di due o più variabili non fai che ripetere le stesse cose.
Ad esempio, per la derivata parziale rispetto ad $x$ di una funzione di due variabili nel punto $(x_0,y_0)$, non fai altro che studiare la derivabilità della funzione di una variabile che ottieni restringendo la tua $f$ data alla retta di equazione $y = y_0$. E da qui ti ritrovi le condizioni di cui parlavi (di accumulazione per le "sezioni"...).
Grazie mille per la risposta 
Se è possibile vorrei porre un altra questione.... ci sono dei punti che devo escludere quando vado ad analzizare l'intervallo in cui la funzione è derivabile? Ad esempio...data la funzione $[1-(x^2+y^2)]^(1/2)$ ,una volta determinato il dominio (cerchio chiuso di centro nell'origine e di raggio uno) il libro mi dice : "Evidentemente ,tutti i punti di X (dominio di f) tranne $(-1,0)$ ed $(1,0)$ sono idonei alla derivabilità parziale rispetto ad $y$..... quell' "Evidenemtente " non mi è proprio chiaro....e poi cosa intende con "idonei "?
Quale "intervallo"? Stai parlando di funzioni di più variabili, attenzione. Ti devi aspettare, come dominio, un oggetto a due dimensioni: un cerchio, un quadrato, questi sono domini plausibili.
Hai ragione dissonance ....mi correggo.... non ho ancora molta confidenza con le funzioni in due variabili per questo parlo ancora usando nozioni che utilizzavo spesso per quelle ad una variabile.... 
Comunque che i punti $(-1,0)$ ed $(1,0)$ non siano idonei alla derivabilità parziale rispetto ad y dipende forse dal fatto che il punto $y0$ ovvero $0$ non è di accumulazione per la la sezione di X con la retta $x0=+-1$ ? Oppure ho detto una sciocchezza e sto ancora brancolando nel buio?
Si vede che non hai mai fatto le appropriate riflessioni ai tempi di analisi 1. Quando hai una funzione assegnata mediante combinazione di funzioni elementari, è una cosa naturale avere regolarità in quasi tutti i punti del dominio tranne un numero finito (per esempio dove si annulla qualche valore assoluto o qualche radice quadrata). In questi punti si deve condurre una analisi locale. Adesso non ho proprio tempo di mettermi a spiegare questo fatto, e tra l'altro è stato già spiegato molte volte: prova ad usare la funzione CERCA.
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