Per rinfrescarmi la memoria sui limiti
Esiste un modo "veloce" (intendo senza dover ricorrere a Taylor) per affermare che $(\log(p(n)))/(\log q(n))$ (con $p(n), q(n)$ polinomi) converge ad 1 per $n$ all'infinito? E' abbastanza corretto dire che i termini inferiori al grado massimo si possono ignorare? Questo vale, ad esempio, anche per $(1+5^(n))/(1+3^(n))$, che può essere considerato come $(5^(n))/(3^(n))$?
(queste cose son sicuro di averle fatte, due annetti fa).
(queste cose son sicuro di averle fatte, due annetti fa).
Risposte
certo che si può fare.
Basta che metti in evidenza l'esponenziale al numeratore e al denominatore e:
$5^n(1/(5^n)+1)/(3^n(1/(3^n)+1)$
quindi visto che $n->+oo$ ciò che hai messo in evidenza, ovvero la tua successione, diventa $5^n/(3^n)$ in quanto gli altri termini si possono eleminare perchè tendono a $0$
Oppure puoi fare il tutto in modo più semplice se sai muoverti con le maggiorazioni.
Basta che metti in evidenza l'esponenziale al numeratore e al denominatore e:
$5^n(1/(5^n)+1)/(3^n(1/(3^n)+1)$
quindi visto che $n->+oo$ ciò che hai messo in evidenza, ovvero la tua successione, diventa $5^n/(3^n)$ in quanto gli altri termini si possono eleminare perchè tendono a $0$
Oppure puoi fare il tutto in modo più semplice se sai muoverti con le maggiorazioni.
E' vero, questo è banalissimo, si vede che ho perso colpi; c'è qualcosa di simile con quei logaritmi, così completo la figuraccia? 
Vabbe con i logaritmi ci sono i limiti notevoli, oppure puoi sempre ricordare che il $logn$ è la successione che va più lentamente ad infinito, quindi diciamo che "perde sempre" quando si trova in una frazione con un esponenziale, una potenza, un fattoriale. Non so se mi sono spiegato bene!
Nel caso riporta qualche esempio.
Nel caso riporta qualche esempio.
Dai, almeno quello che hai detto lo so gli esempi sono nel primo post.
gli esempi sono nel primo post.
Si converge ad $1$ soltante se $degp(n) = degq(n)$
Ok. Si può allora applicare la stessa regola delle frazioni con polinomi al numeratore e al denominatore, ovvero vedere solo i coefficienti dei termini di grado massimo? E nel caso, perché? E nel caso contrario... perché ?
?
Si giusto.
Quando hai una successione o una funzione (è indifferente grazie al teorema ponte) con polinomi, puoi tenere solo i termini di grado massimo, grazie a quel passaggio fatto sopra con la successione esponenziale. Solo che al posto dell'esponenziale hai un polinomio. Stando attento a tre regole.
1) Grado del Num > grad del denominatore il limite $->+-00$
2) Grado del Num = Grado del denominatore il limite $->$ al rapporto dei coefficienti dell'incognita con grado massimo al num e al den
3) Grado del Num < Grado del Denominatore il limite $-> 0$
Queste cose o le fai direttamente, o tramite i passaggi, come mostrato nei post precedenti.
Quando hai una successione o una funzione (è indifferente grazie al teorema ponte) con polinomi, puoi tenere solo i termini di grado massimo, grazie a quel passaggio fatto sopra con la successione esponenziale. Solo che al posto dell'esponenziale hai un polinomio. Stando attento a tre regole.
1) Grado del Num > grad del denominatore il limite $->+-00$
2) Grado del Num = Grado del denominatore il limite $->$ al rapporto dei coefficienti dell'incognita con grado massimo al num e al den
3) Grado del Num < Grado del Denominatore il limite $-> 0$
Queste cose o le fai direttamente, o tramite i passaggi, come mostrato nei post precedenti.
Lorin, mi spiego meglio: che queste cose si possono fare con i polinomi lo so bene. Volevo solo sapere se si può fare la stessa cosa con le forme del primo post, ovvero con i polinomi dentro i logaritmi a numeratore e denominatore. E perché si può fare/non si può fare.
Ah ho capito cosa intendi. Comunque tutte le cose che ho detto nel post precedente valgono anche nel caso in cui, il polinomio è argomento del logaritmo, oppure di un esponenziale, o è un radicando di una radice, insomma valgono sempre, liddove le puoi applicare.
Ad esempio
$log(3n^2+n+1)/log(2n^2+4n)$
vedi la successione come se fosse composta. Te le studi prima separatamente, quindi distigui numeratore dal denominatore, quindi, applichi tutte le regole sopra citate come se dovessi considerare una funzione composta. Quindi analizzi prima l'argomento del log e poi la funzione più esterna, che è in questo caso il logaritmo.
Ad esempio
$log(3n^2+n+1)/log(2n^2+4n)$
vedi la successione come se fosse composta. Te le studi prima separatamente, quindi distigui numeratore dal denominatore, quindi, applichi tutte le regole sopra citate come se dovessi considerare una funzione composta. Quindi analizzi prima l'argomento del log e poi la funzione più esterna, che è in questo caso il logaritmo.
Comunque si può dimostrare (ed è pure facile) che le funzioni logaritmo e potenza conservano l'equivalenza asintotica, nel senso che:
se due funzioni $f$ e $g$ sono tali che $(f(x))/(g(x))\to1$ per $x\tox_0$, allora anche $(log\ f(x))/(log\ g(x))\to1$ per $x\tox_0$. E lo stesso discorso vale per le potenze. Vedi su http://www.dm.uniba.it/~pisani/matematica/ordini.pdf , la proposizione che ti interessa è la 1.7 a pagina 3 (tra le primissime).
se due funzioni $f$ e $g$ sono tali che $(f(x))/(g(x))\to1$ per $x\tox_0$, allora anche $(log\ f(x))/(log\ g(x))\to1$ per $x\tox_0$. E lo stesso discorso vale per le potenze. Vedi su http://www.dm.uniba.it/~pisani/matematica/ordini.pdf , la proposizione che ti interessa è la 1.7 a pagina 3 (tra le primissime).
Comunque
$\frac{ \ln(x^n+o(x^n)) }{ \ln(x^m+o(x^m))}=\frac{\ln(x^n(1+o(1)))}{\ln(x^m(1+o(1)))}=\frac{\ln(x^n)+\ln(1+o(1))}{\ln(x^m)+\ln(1+o(1))}=$
$\frac{n\ln(x)+o(1)}{m\ln(x)+o(1)}=\frac{n+o(1/ln(x))}{m+o(1/\ln(x))}\to\frac{n}{m}$
$\frac{ \ln(x^n+o(x^n)) }{ \ln(x^m+o(x^m))}=\frac{\ln(x^n(1+o(1)))}{\ln(x^m(1+o(1)))}=\frac{\ln(x^n)+\ln(1+o(1))}{\ln(x^m)+\ln(1+o(1))}=$
$\frac{n\ln(x)+o(1)}{m\ln(x)+o(1)}=\frac{n+o(1/ln(x))}{m+o(1/\ln(x))}\to\frac{n}{m}$
Vabbé, queste sono tutte cose che già sapevo non ci siamo intesi al massimo; comunque sono riuscito a trovare la risposta ai miei dubbi riguardandomi alcuni testi di esercizi svolti in rete.
Grazie in ogni caso per la disponibilità, che è sempre tanta in questo forum.
P.S.: quello che ho visto negli esercizi è esattamente quello che ha mostrato Vicious, il cui intervento vedo ora insieme a quello di dissonance, che ringrazio per il materiale. Anche a voi due sono assai grato, siete disponibilissimi
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non ci siamo intesi al massimo; comunque sono riuscito a trovare la risposta ai miei dubbi riguardandomi alcuni testi di esercizi svolti in rete. Grazie in ogni caso per la disponibilità, che è sempre tanta in questo forum.
P.S.: quello che ho visto negli esercizi è esattamente quello che ha mostrato Vicious, il cui intervento vedo ora insieme a quello di dissonance, che ringrazio per il materiale. Anche a voi due sono assai grato, siete disponibilissimi
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