Per quali valori di a e b la matrice è diagonalizzabile?

[IlMareVerticale]

Per quali valori di a e b la matrice è diagonalizzabile?
1 0 0
a 0 b
1 b 0

Con un parametro riesco... ma qui non so come impostare e risolvere...
Grazie :)

[ciampax]

Cominciamo a calcolare il polinomio caratteristico. Abbiamo

[math]p(t)=\det\left|\begin{array}{ccc}
1-t & 0 & 0 \\ a & -t & b \\ 1 & b & -t
\end{array}\right|=(1-t)(t^2-b^2)[/math]

Le radici sono allora

[math]t=1,\ t=\pm b[/math]

.

Per prima cosa allora analizziamo il caso in cui

[math]b=0[/math]

(in tale situazione hai una radice singola e una doppia. Per gli autospazi (che indico con

[math]V_t[/math]

) bisogna risolvere i seguenti sistemi:

[math]V_1:\qquad ax-y=0,\quad x-z=0\ \Rightarrow\ z=x,\ y=ax[/math]

[math]V_0:\qquad x=0[/math]

ne segue che

[math]V_1=\langle x,ax,x\rangle,\qquad V_0\langle 0,y,z\rangle[/math]

che hanno rispettivamente dimensione 1 e 2 e quindi la matrice è diagonalizzabile. In particolare per le basi si ha

[math]B_{V_1}=\{(1,a,1)\},\qquad B_{V_0}=\{(0,1,0),\ (0,0,1)\}[/math]

e quindi la matrice di coniugio è

[math]P=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1
\end{array}\right)[/math]

Consideriamo ora il caso

[math]b\neq 0[/math]

. Abbiamo allora due possibilità:

caso 1:

[math]b=1[/math]

oppure

[math]b=-1[/math]

: in tali situazioni l'autovalore 1 risulta doppio e l'altro autovalore risulta pari a -1. Si ha quindi:

- per b=1

[math]V_1:\qquad ax-y+z=0,\ x+y-z=0\ \Rightarrow\ z=x+y,\ (a+1)x=0[/math]

[math]V_{-1}:\qquad 2x=0,\ ax+y+z=0,\ x+y+z=0\ \Rightarrow\ x=0,\ y=-z[/math]

per cui se

[math]a\neq-1[/math]

si ha

[math]V_1:\ x=0,z=y[/math]

e si ha dimensione 1, e anche

[math]V_{-1}[/math]

ha dimensione 1, per cui non si può diagonalizzare.

Se invece

[math]a=-1[/math]

,

[math]V_1:\ z=x+y[/math]

e quindi tale autospazio ha dimensione 2. ne segue che in questo caso puoi diagonalizzare e si ha la matrice di partenza pari a

[math]\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0
\end{array}\right|[/math]

ed essendo le basi

[math]B_{V_1}=\{(1,0,1),\ (0,1,1)\},\qquad B_{V_{-1}}=\{(0,1,-1)\}[/math]

la matrice di coniugio

[math]P=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1
\end{array}\right|[/math]

- per b=-1

[math]V_1:\qquad ax-y-z=0,\ x-y-z=0\ \Rightarrow\ z=x-y,\ (a-1)x=0[/math]

[math]V_{-1}:\qquad 2x=0,\ ax+y-z=0,\ x-y+z=0\ \Rightarrow\ x=0,\ y=z[/math]

per cui se

[math]a\neq1[/math]

si ha

[math]V_1:\ x=0,z=-y[/math]

e si ha dimensione 1, e anche

[math]V_{-1}[/math]

ha dimensione 1, per cui non si può diagonalizzare.

Se invece

[math]a=1[/math]

,

[math]V_1:\ z=x-y[/math]

e quindi tale autospazio ha dimensione 2. ne segue che in questo caso puoi diagonalizzare e si ha la matrice di partenza pari a

[math]\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0
\end{array}\right|[/math]

ed essendo le basi

[math]B_{V_1}=\{(1,0,1),\ (0,1,-1)\},\qquad B_{V_{-1}}=\{(0,1,1)\}[/math]

la matrice di coniugio

[math]P=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1
\end{array}\right|[/math]

Caso 2:

[math]b\neq\pm 1[/math]

. In tal caso si hanno tre autovalori distinti, quindi per diagonalizzare la matrice dobbiamo verificare che i tre autospazi abbiano tutti dimensione 1. Abbiamo:

[math]V_b:\qquad (1-b)x=0,\ ax-by+bz=0,\ x+by-bz=0\ \Rightarrow\ x=0,\ y=z[/math]

[math]V_{-b}:\qquad (1+b)x=0,\ ax+by+bz=0,\ x+by+bz=0\ \Rightarrow\ x=0,\ y=-z[/math]

[math]V_1:\qquad ax-y+bz=0,\ x+by-z=0\ \Rightarrow\ z=x+by,\ y=\frac{(a+b)x}{1-b^2}[/math]

I primi due autospazi hanno sempre dimensione 1 essendo le loro basi

[math]B_{V_b}=\{(0,1,1)\},\qquad B_{V_{-b}}=\{(0,1,-1)\}[/math]

Poiché il vettore generico del terzo autospazio ha forma generale

[math]\left(x,\ \frac{a+b}{1-b^2}\, x,\ \frac{a}{1-b^2}\, x\right)[/math]

l'autospazio

[math]V_1[/math]

in questo caso ha sempre dimensione 1 (qualsiasi sia la scelta di

[math]a[/math]

e di

[math]b\neq 0,\pm1[/math]

e quindi la matrice risulta sempre diagonalizzabile. Essendo pure

[math]B_{V_1}=\{(1-b^2,\ a+b,\ a)\}[/math]

e la matrice di coniugio risulta

[math]P=\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1-b^2 \\ 1 & 1 & a+b \\ 1 & -1 & a
\end{array}\right|[/math]