Per quali costanti $A, B$ $f(x)$ è derivabile in ogni $x\inRR$?
Ciao. Ho un esercizio che dice:
Per quali costanti $A, B$ $f(x)$ è derivabile in ogni $x\inRR$?
con $f(x)={(e^(-A(x^2-1)), if x<=1),(B/(x+1), if x>1):}$
Ora, prendendo in esame B:
con $x >1$... direi che è derivabile sempre. Perchè non ci sono punti dove è discontinua e penso di poter fare questo ragionamento: dato che B è una costante posso fare questo ragionamento: se $B/(x+1)$ è derivabile anche $1/(x+1)$. Siccome $1/(x+1)$ è un polinomio (monomio) e siccome c'è un teorema che dice che ogni funzione polinomiale è derivabile: lo e' anche questa, per ogni B, in ogni $x\inRR$
Per quello che riguarda A:
Perchè $e^(-A(x^2-1))$ sia derivabile occorre che $lim_(x\to\bar(n)) e^(-A(x^2-1)) \in \bar(RR) : \bar(n)>1$ (con $\bar(RR)$ intendo i numeri reali ma anche $\+-\infty$) potrei ragionare così: $lim_(x\to\bar(n)) e^(-A(x^2-1)) = lim_(x\to\bar(n)) e^(-A)e^(x^2-1) =e^(-A) lim_(x\to\bar(n)) e^(x^2-1)$ ma $e^(x^2-1)$ non ha punti di discontinuita' e quindi ha limite in ogni x, quindi è derivabile per ogni A.
Puo' andare vagamente come soluzione? sono quasi sicuro di aver cannato da qlc parte ma... qua... sono cotto!!
GRazie tutti.
Per quali costanti $A, B$ $f(x)$ è derivabile in ogni $x\inRR$?
con $f(x)={(e^(-A(x^2-1)), if x<=1),(B/(x+1), if x>1):}$
Ora, prendendo in esame B:
con $x >1$... direi che è derivabile sempre. Perchè non ci sono punti dove è discontinua e penso di poter fare questo ragionamento: dato che B è una costante posso fare questo ragionamento: se $B/(x+1)$ è derivabile anche $1/(x+1)$. Siccome $1/(x+1)$ è un polinomio (monomio) e siccome c'è un teorema che dice che ogni funzione polinomiale è derivabile: lo e' anche questa, per ogni B, in ogni $x\inRR$
Per quello che riguarda A:
Perchè $e^(-A(x^2-1))$ sia derivabile occorre che $lim_(x\to\bar(n)) e^(-A(x^2-1)) \in \bar(RR) : \bar(n)>1$ (con $\bar(RR)$ intendo i numeri reali ma anche $\+-\infty$) potrei ragionare così: $lim_(x\to\bar(n)) e^(-A(x^2-1)) = lim_(x\to\bar(n)) e^(-A)e^(x^2-1) =e^(-A) lim_(x\to\bar(n)) e^(x^2-1)$ ma $e^(x^2-1)$ non ha punti di discontinuita' e quindi ha limite in ogni x, quindi è derivabile per ogni A.
Puo' andare vagamente come soluzione? sono quasi sicuro di aver cannato da qlc parte ma... qua... sono cotto!!
GRazie tutti.
Risposte
Ciao, scusami se lo dico brutalmente ma hai sbagliato più o meno tutto. 
vabbè magari sei cotto e domani ti correggeresti tranquillamente da solo, però per ora è così . Vado a spiegare come risolvere l'esercizio.
dunque, lascia perdere tutto quello che hai fatto. La questione si risolve così:
innanzitutto, ricordati che vale "f derivabile $=>$ f continua", ma non viceversa. Quindi se vuoi dimostrare che f è derivabile, devi prima dimostrare che sia continua!
Pertanto si procede così:
a) Studio la continuità delle due parti della funzione singolarmente. Si fa molto in fretta, infatti $e^x$ è sempre continua in $RR$, quale che sia il suo esponente, mentre $1/(x+1)$ è continua sempre tranne in $x=-1$, ma siccome siamo nel caso $x>1$, tutto ok. Quindi le due funzioni sono continue ed il problema è solo vedere come si "saldano" in x=1.
Per vedere questo, osserviamo intanto che per x=1, la funzione vale 1: infatti in questo caso si guarda il pezzo $ e^(-A(x^2-1)) $ e con x=1 si ottiene $e^0$, cioè 1. Quindi la funzione sarà continua se dall'altro lato, il limite per x$->$1 vale 1. Vediamo.
$ lim_(x -> 1^-) B/(x+1) = B/2 $ e quindi, siccome voglio che sia uguale ad 1, avrò $B/2 = 1$, ovvero $B=2$.
Bella! Uno l'abbiamo trovato. Studiando la derivabilità troveremo l'altro.
b)Ora studio la derivabilità delle due parti della funzione singolarmente. Di nuovo si fa molto in fretta, infatti per x>1, $B/(x+1)$ è sempre derivabile, mentre $ e^(-A(x^2-1)) $ lo è sempre a prescindere da x. Quindi di nuovo bisogna controllare che accade in x=1
Siccome si tratta di derivabilità, bisogna studiare il limite del rapporto incrementale e non il limite solito. Derivo la funzione $ e^(-A(x^2-1)) $ ed ottengo $-2Ax e^(-A(x^2-1)) $. Ora calcolo il lim del rapporto incrementale di f per $x->1^-$ e vale
$ lim_(x -> 1^-) (2/(x+1) - 1)/(x-1) = 0 $ (Wolfram dice così ed io mi fido...)
Tale limite deve essere uguale al valore della derivata trovato prima, altrimenti la funzione non è derivabile in x=1. Quindi avrò $-2Ax e^(-A(x^2-1)) =0$, quindi banalmente A=0.
Ed ecco trovati i due valori per cui f è derivabile ovunque, compreso x=1.
Ora, sperando di aiutarti ti scrivo alcuni dei tuoi errori, quelli che secondo me sono i più gravi.
occhio! $1/(x+1)$ non è affatto un polinomio! Tralasciando la distinzione tra polinomio e funzione polinomiale che qui non ci interessa, ti dirò che un polinomio nella sua espressione non ha incognite al denominatore nè radici, logaritmi e quant'altro. Più correttamente, un polinomio in $RR$ è una funzione del tipo $a_n x^n a_(n-1) x^(n-1) + ...+ a_0$, dove i vari $a_n$ sono dei numeri reali, eventualmente anche nulli. Quindi $x+1$ è un polinomio, ma $1/(x+1)$ no proprio per quella frazione.
questo non è vero! In questo modo dimostreresti la continuità della funzione, non la derivabilità. La continuità è una condizione necessaria alla derivabilità, ma non è sufficiente, ed in teoria dovresti studiare il limite del rapporto incrementale. Però, siccome $e^x$ è sempre derivabile in $RR$, qui alla fine non c'è da dimostrare proprio niente
vabbè magari sei cotto e domani ti correggeresti tranquillamente da solo, però per ora è così . Vado a spiegare come risolvere l'esercizio.dunque, lascia perdere tutto quello che hai fatto. La questione si risolve così:
innanzitutto, ricordati che vale "f derivabile $=>$ f continua", ma non viceversa. Quindi se vuoi dimostrare che f è derivabile, devi prima dimostrare che sia continua!
Pertanto si procede così:
a) Studio la continuità delle due parti della funzione singolarmente. Si fa molto in fretta, infatti $e^x$ è sempre continua in $RR$, quale che sia il suo esponente, mentre $1/(x+1)$ è continua sempre tranne in $x=-1$, ma siccome siamo nel caso $x>1$, tutto ok. Quindi le due funzioni sono continue ed il problema è solo vedere come si "saldano" in x=1.
Per vedere questo, osserviamo intanto che per x=1, la funzione vale 1: infatti in questo caso si guarda il pezzo $ e^(-A(x^2-1)) $ e con x=1 si ottiene $e^0$, cioè 1. Quindi la funzione sarà continua se dall'altro lato, il limite per x$->$1 vale 1. Vediamo.
$ lim_(x -> 1^-) B/(x+1) = B/2 $ e quindi, siccome voglio che sia uguale ad 1, avrò $B/2 = 1$, ovvero $B=2$.
Bella! Uno l'abbiamo trovato. Studiando la derivabilità troveremo l'altro.
b)Ora studio la derivabilità delle due parti della funzione singolarmente. Di nuovo si fa molto in fretta, infatti per x>1, $B/(x+1)$ è sempre derivabile, mentre $ e^(-A(x^2-1)) $ lo è sempre a prescindere da x. Quindi di nuovo bisogna controllare che accade in x=1
Siccome si tratta di derivabilità, bisogna studiare il limite del rapporto incrementale e non il limite solito. Derivo la funzione $ e^(-A(x^2-1)) $ ed ottengo $-2Ax e^(-A(x^2-1)) $. Ora calcolo il lim del rapporto incrementale di f per $x->1^-$ e vale
$ lim_(x -> 1^-) (2/(x+1) - 1)/(x-1) = 0 $ (Wolfram dice così ed io mi fido...)
Tale limite deve essere uguale al valore della derivata trovato prima, altrimenti la funzione non è derivabile in x=1. Quindi avrò $-2Ax e^(-A(x^2-1)) =0$, quindi banalmente A=0.
Ed ecco trovati i due valori per cui f è derivabile ovunque, compreso x=1.
Ora, sperando di aiutarti ti scrivo alcuni dei tuoi errori, quelli che secondo me sono i più gravi.
"BoG":
Siccome $1/(x+1)$ è un polinomio (monomio)
occhio! $1/(x+1)$ non è affatto un polinomio! Tralasciando la distinzione tra polinomio e funzione polinomiale che qui non ci interessa, ti dirò che un polinomio nella sua espressione non ha incognite al denominatore nè radici, logaritmi e quant'altro. Più correttamente, un polinomio in $RR$ è una funzione del tipo $a_n x^n a_(n-1) x^(n-1) + ...+ a_0$, dove i vari $a_n$ sono dei numeri reali, eventualmente anche nulli. Quindi $x+1$ è un polinomio, ma $1/(x+1)$ no proprio per quella frazione.
"BoG":
Perchè $ e^(-A(x^2-1))$ sia derivabile occorre che $ lim_(x\to\bar(n)) e^(-A(x^2-1)) \in \bar(RR) : \bar(n)>1$ (con $ \bar(RR) $ intendo i numeri reali ma anche $ \+-\infty $)
questo non è vero! In questo modo dimostreresti la continuità della funzione, non la derivabilità. La continuità è una condizione necessaria alla derivabilità, ma non è sufficiente, ed in teoria dovresti studiare il limite del rapporto incrementale. Però, siccome $e^x$ è sempre derivabile in $RR$, qui alla fine non c'è da dimostrare proprio niente
"poll89":
Ciao, scusami se lo dico brutalmente ma hai sbagliato più o meno tutto.
Vai tranquillo
mica mi offendo!"poll89":
innanzitutto, ricordati che vale "f derivabile $=>$ f continua", ma non viceversa. Quindi se vuoi dimostrare che f è derivabile, devi prima dimostrare che sia continua!
Era quello che volevo dire!
a) Studio la continuità delle due parti della funzione singolarmente. Si fa molto in fretta, infatti $e^x$ è sempre continua in $RR$, quale che sia il suo esponente, mentre $1/(x+1)$ è continua sempre tranne in $x=-1$, ma siccome siamo nel caso $x>1$, tutto ok. Quindi le due funzioni sono continue ed il problema è solo vedere come si "saldano" in x=1.
Ehm.. non c'ho pensato al fatto che si dovessero "saldare"... fiù...
Per vedere questo, osserviamo intanto che per x=1, la funzione vale 1: infatti in questo caso si guarda il pezzo $ e^(-A(x^2-1)) $ e con x=1 si ottiene $e^0$, cioè 1. Quindi la funzione sarà continua se dall'altro lato, il limite per x$->$1 vale 1. Vediamo.Secondo me il tuo ragionamento fila
$ lim_(x -> 1^-) B/(x+1) = B/2 $ e quindi, siccome voglio che sia uguale ad 1, avrò $B/2 = 1$, ovvero $B=2$.
Bella! Uno l'abbiamo trovato. Studiando la derivabilità troveremo l'altro.
b)Ora studio la derivabilità delle due parti della funzione singolarmente. Di nuovo si fa molto in fretta, infatti per x>1, $B/(x+1)$ è sempre derivabile, mentre $ e^(-A(x^2-1)) $ lo è sempre a prescindere da x. Quindi di nuovo bisogna controllare che accade in x=1
Siccome si tratta di derivabilità, bisogna studiare il limite del rapporto incrementale e non il limite solito. Derivo la funzione $ e^(-A(x^2-1)) $ ed ottengo $-2Ax e^(-A(x^2-1)) $.
Qua pero' non capisco da dove tiri fuori sto limite.
So che il rapporto incrementale in $x_0$ è $lim_(h\to0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(x_0-h)$, nel mio caso $x_0 = 1^-$
quindi per $f(x)= e^(-A(x^2-1)) $ avro': $lim_(h\to0)(f(1^(-) +h)-f(1^-))/(x_0-h) = lim_(h\to0)(e^(-A(((1^(-))+0)^2-1))-e^(-A((1^(-))^2-1)))/1^(-) .. = 0/1^-$?
poi faccio la stessa cosa con $f(x) = B/(x-2)$ con B=2 ? e vedo se combaciano! è questo che volevi dire?
non ho proprio capito da dove tori fuori $ lim_(x -> 1^-) (2/(x+1) - 1)/(x-1) = 0 $
"BoG":
Qua pero' non capisco da dove tiri fuori sto limite.
hai ragione, mi spiego
dunque, il limite del rapporto incrementale è in realtà, $ lim_(h\to0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $ (sennò al denominatore per $h\to0$ avresti $x_0$ e non 0
), però può essere scritto in un altro modo se voglio togliere di mezzo quella h. Basta porre $x_0 + h = x$, da cui quindi $h=x-x_0$, e poi sostituire. Quindi diventa: $ lim_(h\to0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(x\tox_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$perchè la funzione sia derivabile in quel punto, devi trovare per quali A i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro sono uguali. Siccome però la funzione è spezzata in due nel punto, devi per forza fare la sosttuzione che ti ho detto o non saprai quale delle due funzioni usare a destra e quale a sinistra. Invece così puoi fare il lim da destra e da sinistra e sai esattamente quale delle due funzioni usare nel calcolo.
Puoi però risparmiarti il lim da destra perchè la funzione è definita, continua e derivabile in $x>=1$ (osserva bene quell'uguale
), tale derivata vale $ -2Ax e^(-A(x^2-1)) $ e quindi in x=1 vale -2A. Quindi il lim del rapporto incrementale da destra varrà, per definizione, quanto la derivata valutata nel punto, cioè -2A Quindi calcoli il limite da sinistra usando quella nuova forma del rapporto incrementale che ti ho scritto, cioè $ lim_(x\tox_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$, ovvero $ lim_(x -> 1^-) (2/(x+1) - 1)/(x-1) = 0 $
ah un'ultima cosa che forse non hai capito (o forse si ed io non ho capito che hai capito, ma vabbè) quando ho scritto
intendevo dire che devi sì dimostrare che f sia continua, ma che non basta per dimostrare che sia anche derivabile; questo si sintetizza nel dire "condizione necessaria non sufficiente"
quando ho scritto"poll89":
innanzitutto, ricordati che vale "f derivabile ⇒ f continua", ma non viceversa. Quindi se vuoi dimostrare che f è derivabile, devi prima dimostrare che sia continua!
intendevo dire che devi sì dimostrare che f sia continua, ma che non basta per dimostrare che sia anche derivabile; questo si sintetizza nel dire "condizione necessaria non sufficiente"
"poll89":
$ lim_(x -> 1^-) (2/(x+1) - 1)/(x-1) = 0 $
Ciao, scusami se ti disturbo mi potresti spiegare pure a me come si fa questo limite, perchè a me viene diverso xD
$(2/(x+1) - 1)/(x-1) = (2-x-1)/{(x-1)(x+1)} = {-(x-1)}/{(x+1)(x-1)} = -1/{(x+1)} -> -1/2$
In effetti sembra che abbia ragione tu io mi sono fidato di wolfram perchè ero stanco e temevo di sbagliare... mi sa che ha sbagliato lui invece. E che cacchio! Comunque non cambia niente nel procedimento, solo A non varrà più 0 ma avrò
$-2A = -1/2$, quindi A=1
io mi sono fidato di wolfram perchè ero stanco e temevo di sbagliare... mi sa che ha sbagliato lui invece. E che cacchio! Comunque non cambia niente nel procedimento, solo A non varrà più 0 ma avrò$-2A = -1/2$, quindi A=1
Capito! Grazie!
Sul discorso della continuita' mi ero posto il problema appunto che la continuita' non e' sufficiente per dimostrare la derivabilita' e sono andato parecchio in palla.
Grazie di esserti sbattuto con una risposta tanto articolata.
Sul discorso della continuita' mi ero posto il problema appunto che la continuita' non e' sufficiente per dimostrare la derivabilita' e sono andato parecchio in palla.
Grazie di esserti sbattuto con una risposta tanto articolata.
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