Per quali a è derivabile f(x)

[krDavide]

Salve a tutti ragazzi, domanda sciocca:

avendo $ { ( 0ifx>=0 ),( x^asin(1/x)ifx<0 ):} $

come scopro per quali $a$ è $f(x)$ derivabile su tutto $R$?

[phaerrax]

Puoi escludere subito gran parte dei valori possibili: una condizione necessaria affinché sia derivabile è la continuità: in \(\mathbb R\setminus\{0\}\) è ovvia, rimane da valutare nello \(0\).

Hai inoltre che, separatamente, le due "parti" della funzione sono a loro volta già derivabili nei loro domini di definizione: puoi dunque verificare per quali valori di \(a\) esiste il limite della derivata in \(0\) (i.e. i limiti sx e dx coincidono).

[krDavide]

io per controllare la derivabilità uso il metodo

$lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) $
$xtox0$

quindi diventerebbe per la parte dove $x<0$

$lim (x^asin(1/x)-0^(-a)sin(1/o-))/(x-0^-) $
$xto0^-$

ovvero

$lim (x^asin(1/x))/(x) $
$xto0^-$

e da qui capire per quale $a$ il $lim$ diventa $0$, giusto?

[@melia]

$f(0)=0$ perché la funzione in 0 non è definita tramite $x^a*sin(1/x)$