Per quale valore di L esiste il limite - in R2
Buongiorno Ragazzi,
sono nuovo sul forum, sto preparando l'esame di Analisi 2, mi e' capitato questo esercizio:
lim (x,y)-->(0,0) di (x^3+y^3)/(x^2+y^2)^L
calcolare il limite
calcolare per quali valori di L il limite esiste
(sono consigliate le coordinate polari)
il problema e' che non so come procedere per calcolare L perche' non mi e' mai capitato questo tipo di esercizio.. quindi non so da dove cominciare..
Grazie mille a tutti
Saluti
Angelo
sono nuovo sul forum, sto preparando l'esame di Analisi 2, mi e' capitato questo esercizio:
lim (x,y)-->(0,0) di (x^3+y^3)/(x^2+y^2)^L
calcolare il limite
calcolare per quali valori di L il limite esiste
(sono consigliate le coordinate polari)
il problema e' che non so come procedere per calcolare L perche' non mi e' mai capitato questo tipo di esercizio.. quindi non so da dove cominciare..
Grazie mille a tutti
Saluti
Angelo
Risposte
Comincia con farti l'idea di quale possa essere il limite con qualche restrizione, ad esempio lungo la retta $y=0:$
\[f(x,0)\quad\to\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^L}= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 }{ x^{2L} }=\begin{cases}\infty&\,\,\mbox{se}\,\,L>3/2\\
1&\,\,\mbox{se}\,\, L=3/2\\
0&\,\,\mbox{se}\,\,L<3/2\\
\end{cases};\]
a questo punto puoi uilizzare le coordinate polari nei veri casi; ad esempio, se $ L=3/2$ avresti:
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\lim_{ \rho \to0}\frac{\rho^3\cos^3\vartheta+\rho^3\sin^3\vartheta}{\rho^3}=\cos^3\vartheta+ \sin^3\vartheta,
\end{align}
e dunque in queto caso il limite non esiste. Analogamente per gli atri due casi.
\[f(x,0)\quad\to\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^L}= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 }{ x^{2L} }=\begin{cases}\infty&\,\,\mbox{se}\,\,L>3/2\\
1&\,\,\mbox{se}\,\, L=3/2\\
0&\,\,\mbox{se}\,\,L<3/2\\
\end{cases};\]
a questo punto puoi uilizzare le coordinate polari nei veri casi; ad esempio, se $ L=3/2$ avresti:
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\lim_{ \rho \to0}\frac{\rho^3\cos^3\vartheta+\rho^3\sin^3\vartheta}{\rho^3}=\cos^3\vartheta+ \sin^3\vartheta,
\end{align}
e dunque in queto caso il limite non esiste. Analogamente per gli atri due casi.
"Noisemaker":
Comincia con farti l'idea di quale possa essere il limite con qualche restrizione, ad esempio lungo la retta $y=0:$
\[f(x,0)\quad\to\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^L}= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 }{ x^{2L} }=\begin{cases}\infty&\,\,\mbox{se}\,\,L>3/2\\
1&\,\,\mbox{se}\,\, L=3/2\\
0&\,\,\mbox{se}\,\,L<3/2\\
\end{cases};\]
a questo punto puoi uilizzare le coordinate polari nei veri casi; ad esempio, se $ L=3/2$ avresti:
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\lim_{ \rho \to0}\frac{\rho^3\cos^3\vartheta+\rho^3\sin^3\vartheta}{\rho^3}=\cos^3\vartheta+ \sin^3\vartheta,
\end{align}
e dunque in queto caso il limite non esiste. Analogamente per gli atri due casi.
quindi la risposta sarebbe che per nessun valore di L esiste il limite?
scusami, ma quindi basta eguagliare gli esponenti?
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