Per quale parametro le funzioni appartengono a $L_1{\mathbb{R}}$ e a $L_2{\mathbb{R}}$
Salve ragazzi, vorrei chiedervi e potreste correggermi eventuali errori o imprecisione nel metodo di risolizione di questo tipo di esercizi. Cioè devo verificare per quali dei parametri reali $\alpha$ queste funzione appartengo a $L_1{\mathbb{R}}$ e a $L_2{\mathbb{R}}$
Cioè bisogna verificare per quali valori
$\int_{\mathbb{R}} |f(x)| \ dx < \infty$
$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
1) $f(x)= x/(1+x^2)$
$L_1$ ) $\frac{x}{(1+x^2)^{\alpha}} ~ _{\infty} \frac{1}{x^{2 alpha -1}} \to alpha > 1$
$L_2$ ) $\frac{x^2}{(1+x^2)^{2\alpha}} ~ _{\infty} \frac{1}{x^{4 alpha -2}} \to alpha > 3/4$
2) $ (|sin x |/|x|)^alpha $
$ L_1)\quad (|sin x |/|x|)^alpha ~ _ \infty 1/|x|^alpha \to alpha >1 $
$ L_2)\quad (|sin x |/|x|)^(2alpha) ~ _ \infty 1/|x|^(2alpha )\to alpha >1/2 $
3) $|x|^alpha e^{-x^2}$
ok a questo mi sono bloccato! ho come soluzione che in $L_1$ $alpha$ deve essere maggiore di -1 . Ma per$ alpha = -2 $l'integrale non converge ugualmente?
Cioè bisogna verificare per quali valori
$\int_{\mathbb{R}} |f(x)| \ dx < \infty$
$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
1) $f(x)= x/(1+x^2)$
$L_1$ ) $\frac{x}{(1+x^2)^{\alpha}} ~ _{\infty} \frac{1}{x^{2 alpha -1}} \to alpha > 1$
$L_2$ ) $\frac{x^2}{(1+x^2)^{2\alpha}} ~ _{\infty} \frac{1}{x^{4 alpha -2}} \to alpha > 3/4$
2) $ (|sin x |/|x|)^alpha $
$ L_1)\quad (|sin x |/|x|)^alpha ~ _ \infty 1/|x|^alpha \to alpha >1 $
$ L_2)\quad (|sin x |/|x|)^(2alpha) ~ _ \infty 1/|x|^(2alpha )\to alpha >1/2 $
3) $|x|^alpha e^{-x^2}$
ok a questo mi sono bloccato! ho come soluzione che in $L_1$ $alpha$ deve essere maggiore di -1 . Ma per$ alpha = -2 $l'integrale non converge ugualmente?
Risposte
Per \( \alpha \leq -1 \) quella funzione è sommabile all'infinito, ma non è sommabile in zero...
Quindi come arrivo al risultato $alpha > -1$ ? Cioè non ho ben chiare le considerazione che mi portano a determinare tale valore
\[ \frac{1}{2} < e^{-x^2} < \frac{3}{2} \]Ricordiamo in primo luogo che, per definizione, la funzione \( f_{\alpha}(x) := |x|^{\alpha} e^{-x^2} \in L^{1}(\mathbb{R}) \) se e solo se
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{\alpha} e^{-x^2} \, dx < \infty.
\]
Intanto, la parità della funzione suggerisce che
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{\alpha} e^{-x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx,
\]
sicché possiamo concentrarci solo su quest'ultimo integrale. Se \( \alpha \geq 0 \) l'integranda è continua in \( x = 0 \), e quindi occorre preoccuparsi solo della sommabilità all'infinito, che però è di facile verifica, come tu stesso avevi già intuito. In buona sostanza, per quanto tu possa prendere \( \alpha \) grande, all'infinito la presenza dell'esponenziale decrescente garantisce senza alcun dubbio la sommabilità.
Ma vediamo cosa accade per \( \alpha < 0 \): in questo caso, l'integranda presenta una discontinuità in zero, e quindi occorre studiare la sommabilità di \( f_{\alpha} \) negli intorni di tipo \( (0,\delta) \) con \( \delta > 0 \).
A tale scopo, ci ricordiamo che
\[ \lim_{x \to 0} e^{-x^2} = 1, \]
cosicché possiamo concludere che esiste un numero positivo \( \delta \) tale che risulti
\[
\frac{1}{2} < e^{-x^2} < \frac{3}{2}
\]
per tutte le \( x \in (0,\delta) \). A questo punto, abbiamo subito che
\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx \leq \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \leq \frac{3}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx.
\]
Poiché
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty \iff \alpha > -1,
\]
abbiamo che per gli \( \alpha > -1 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \leq \frac{3}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty,
\]
mentre per gli \( \alpha \leq -1 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \geq \frac{1}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx = \infty.
\]
Questo, congiuntamente all'osservazione che la sommabilità all'infinito è sempre garantita, dimostra inequivocabilmente che \( f_{\alpha} \in L^{1}(\mathbb{R}) \iff \alpha > -1 \).
Sei d'accordo? Cosa cambia per \( L^2 \)?
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{\alpha} e^{-x^2} \, dx < \infty.
\]
Intanto, la parità della funzione suggerisce che
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{\alpha} e^{-x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx,
\]
sicché possiamo concentrarci solo su quest'ultimo integrale. Se \( \alpha \geq 0 \) l'integranda è continua in \( x = 0 \), e quindi occorre preoccuparsi solo della sommabilità all'infinito, che però è di facile verifica, come tu stesso avevi già intuito. In buona sostanza, per quanto tu possa prendere \( \alpha \) grande, all'infinito la presenza dell'esponenziale decrescente garantisce senza alcun dubbio la sommabilità.
Ma vediamo cosa accade per \( \alpha < 0 \): in questo caso, l'integranda presenta una discontinuità in zero, e quindi occorre studiare la sommabilità di \( f_{\alpha} \) negli intorni di tipo \( (0,\delta) \) con \( \delta > 0 \).
A tale scopo, ci ricordiamo che
\[ \lim_{x \to 0} e^{-x^2} = 1, \]
cosicché possiamo concludere che esiste un numero positivo \( \delta \) tale che risulti
\[
\frac{1}{2} < e^{-x^2} < \frac{3}{2}
\]
per tutte le \( x \in (0,\delta) \). A questo punto, abbiamo subito che
\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx \leq \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \leq \frac{3}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx.
\]
Poiché
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty \iff \alpha > -1,
\]
abbiamo che per gli \( \alpha > -1 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \leq \frac{3}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty,
\]
mentre per gli \( \alpha \leq -1 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{\alpha} e^{-x^2} \, dx \geq \frac{1}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx = \infty.
\]
Questo, congiuntamente all'osservazione che la sommabilità all'infinito è sempre garantita, dimostra inequivocabilmente che \( f_{\alpha} \in L^{1}(\mathbb{R}) \iff \alpha > -1 \).
Sei d'accordo? Cosa cambia per \( L^2 \)?
Mettendo direttamente mano al tuo post 
\( f_{\alpha}(x) := |x|^{\alpha} e^{-x^2} \in L^{2}(\mathbb{R}) \) se e solo se
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx < \infty.
\]
Anche in questo caso la parità della funzione suggerisce che
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx,
\]
Se \( \alpha \geq 0 \) l'integranda è continua in \( x = 0 \) e dato che l'esponenziale decresce più velocemente di qualsiasi potenza, abbiamo la convergenza dell'integrale
Ma vediamo cosa accade per \( \alpha < 0 \): in questo caso, l'integranda presenta una discontinuità in zero, e quindi occorre studiare la sommabilità di \( f_{\alpha} \) negli intorni di tipo \( (0,\delta) \) con \( \delta > 0 \).
A tale scopo, ci ricordiamo che
\[ \lim_{x \to 0} e^{-2x^2} = 1, \]
cosicché possiamo concludere che esiste un numero positivo \( \delta \) tale che risulti
\[
\frac{1}{4} < e^{-2x^2} < \frac{5}{2}
\]
per tutte le \( x \in (0,\delta) \). A questo punto, abbiamo subito che
\[
\frac{1}{4} \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx \leq \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx \leq \frac{5}{2} \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx.
\]
Poiché
\[
\int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx < \infty \iff \alpha > -1/2,
\]
abbiamo che per gli \( \alpha > -1/2 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{2 \alpha} e^{-2x^2} \, dx \leq \frac{5}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty,
\]
Una domanda: In alcuni testi vado in confusione in quando vengo definiti gli spazi
L_2(\mathbb{R})=$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
e gli spazi
C_2(\mathbb{R})=$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
e se non ho capito male, nel primo spazio si definisce l'integrale secondo Lebesgue mentre nel secondo fa semplicemente riferimento all'integrabilità secondo Riemann
e quindi qual'è la differenza, per esempio, in esercizi del genere?
\( f_{\alpha}(x) := |x|^{\alpha} e^{-x^2} \in L^{2}(\mathbb{R}) \) se e solo se
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx < \infty.
\]
Anche in questo caso la parità della funzione suggerisce che
\[
\int_{\mathbb{R}} |x|^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx,
\]
Se \( \alpha \geq 0 \) l'integranda è continua in \( x = 0 \) e dato che l'esponenziale decresce più velocemente di qualsiasi potenza, abbiamo la convergenza dell'integrale
Ma vediamo cosa accade per \( \alpha < 0 \): in questo caso, l'integranda presenta una discontinuità in zero, e quindi occorre studiare la sommabilità di \( f_{\alpha} \) negli intorni di tipo \( (0,\delta) \) con \( \delta > 0 \).
A tale scopo, ci ricordiamo che
\[ \lim_{x \to 0} e^{-2x^2} = 1, \]
cosicché possiamo concludere che esiste un numero positivo \( \delta \) tale che risulti
\[
\frac{1}{4} < e^{-2x^2} < \frac{5}{2}
\]
per tutte le \( x \in (0,\delta) \). A questo punto, abbiamo subito che
\[
\frac{1}{4} \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx \leq \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} e^{-2x^2} \, dx \leq \frac{5}{2} \int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx.
\]
Poiché
\[
\int_{0}^{\delta} x^{2\alpha} \, dx < \infty \iff \alpha > -1/2,
\]
abbiamo che per gli \( \alpha > -1/2 \)
\[
\int_{0}^{\delta} x^{2 \alpha} e^{-2x^2} \, dx \leq \frac{5}{2} \int_{0}^{\delta} x^{\alpha} \, dx < \infty,
\]
Una domanda: In alcuni testi vado in confusione in quando vengo definiti gli spazi
L_2(\mathbb{R})=$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
e gli spazi
C_2(\mathbb{R})=$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \ dx < \infty$
e se non ho capito male, nel primo spazio si definisce l'integrale secondo Lebesgue mentre nel secondo fa semplicemente riferimento all'integrabilità secondo Riemann
e quindi qual'è la differenza, per esempio, in esercizi del genere?
Beh... differenze sostanziali a livello dello svolgimento dell'esercizio non ce ne sono. Probabilmente, la maggior parte delle volte la funzione che ti ritroverai nell'esercizio sarà Riemann-integrabile, almeno in senso improprio. In quel caso, il suo integrale secondo Riemann coincide con quello secondo Lebesgue, e quindi i risultati in termini di appartenenza alle classi di sommabilità sono le stesse.
Comunque, se non ti è capitato di studiarli, è sempre utile leggere su qualche buon testo i teoremi concernenti le relazioni che intercorrono tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue. Ad esempio, si prova che una funzione limitata su un intervallo \( [a,b] \) è Riemann-integrabile se e solo se è quasi ovunque continua, cioè se l'insieme dei suoi punti di discontinuità (in \( [a,b] \)) ha misura nulla secondo Lebesgue; inoltre, le funzioni Riemann-integrabili sono tutte misurabili, Lebesgue-integrabili e i valori dei due integrali coincidono. Esistono, tuttavia, funzioni integrabili secondo Lebesgue ma non secondo Riemann: un tipico esempio è offerto dalla funzione di Dirichlet \( f = \chi_{[0,1] \cap \mathbb{Q}} \), funzione supportata in \( [0,1] \) e tale da valere \( 0 \) sugli irrazionali e \( 1 \) sui razionali. Essa non è integrabile secondo Riemann, ma è misurabile e integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale \( 0 \), essendo quasi ovunque nulla.
In ultimo, ti segnalo come funziona la cosa in termini "funzionali", almeno sugli intervalli compatti. Se \( [a,b] \) è un intervallo chiuso e limitato della retta, allora è possibile strutturare lo spazio vettoriale \( C[a,b] \) delle funzioni continue su \( [a,b] \) come spazio normato, introducendo la norma \( \| \cdot \|_p \) definita da
\[
\| f \|_p := \bigg ( \int_{a}^{b} |f(x)|^p \, dx \bigg )^{\frac{1}{p}}
\]
per \( 1 \leq p < \infty \). Qui, l'integrale può intendersi nel senso di Riemann. Questo spazio normato non è, però, completo: esplicitamente, è possibile determinare una successione di Cauchy di funzioni continue che non converge in media \( p \)-sima, come si suol dire, verso una funzione continua. Il completamento di \( (C[a,b], \| \cdot \|_p) \) è proprio lo spazio di Banach \( L^p(a,b) \) delle funzioni misurabili tali che \( \| f \|_p < \infty \). Qui, invece, l'integrale è da intendersi, in generale, nel senso di Lebesgue.
Comunque, se non ti è capitato di studiarli, è sempre utile leggere su qualche buon testo i teoremi concernenti le relazioni che intercorrono tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue. Ad esempio, si prova che una funzione limitata su un intervallo \( [a,b] \) è Riemann-integrabile se e solo se è quasi ovunque continua, cioè se l'insieme dei suoi punti di discontinuità (in \( [a,b] \)) ha misura nulla secondo Lebesgue; inoltre, le funzioni Riemann-integrabili sono tutte misurabili, Lebesgue-integrabili e i valori dei due integrali coincidono. Esistono, tuttavia, funzioni integrabili secondo Lebesgue ma non secondo Riemann: un tipico esempio è offerto dalla funzione di Dirichlet \( f = \chi_{[0,1] \cap \mathbb{Q}} \), funzione supportata in \( [0,1] \) e tale da valere \( 0 \) sugli irrazionali e \( 1 \) sui razionali. Essa non è integrabile secondo Riemann, ma è misurabile e integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale \( 0 \), essendo quasi ovunque nulla.
In ultimo, ti segnalo come funziona la cosa in termini "funzionali", almeno sugli intervalli compatti. Se \( [a,b] \) è un intervallo chiuso e limitato della retta, allora è possibile strutturare lo spazio vettoriale \( C[a,b] \) delle funzioni continue su \( [a,b] \) come spazio normato, introducendo la norma \( \| \cdot \|_p \) definita da
\[
\| f \|_p := \bigg ( \int_{a}^{b} |f(x)|^p \, dx \bigg )^{\frac{1}{p}}
\]
per \( 1 \leq p < \infty \). Qui, l'integrale può intendersi nel senso di Riemann. Questo spazio normato non è, però, completo: esplicitamente, è possibile determinare una successione di Cauchy di funzioni continue che non converge in media \( p \)-sima, come si suol dire, verso una funzione continua. Il completamento di \( (C[a,b], \| \cdot \|_p) \) è proprio lo spazio di Banach \( L^p(a,b) \) delle funzioni misurabili tali che \( \| f \|_p < \infty \). Qui, invece, l'integrale è da intendersi, in generale, nel senso di Lebesgue.
Sei stato chiarissimo s.stuv, ti ringrazio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo