Per Luca...
Ciao, mi rivolgo direttamente a te perchè il mio questito è di natura strettamente "analitica" ed apprezzo assai la tua chiarezza:
Consideriamo il teorema di gauss o della divergenza, esso afferma che l'integrale del flusso su una superficie chiusa di un campo F è uguale all'integrale sul volume V racchiuso dalla superficie S della divergenza di F.
La divergenza di F, in R^3 è divF=dF/dx+dF/dy+dF/dx
Immaginiamo che il campo F sia nella forma F=(f(x,y,z); cost1;cost2)
in questo caso divF=dF/dx
Adesso consideriamo un campo scalare P(x,y,z), il cui gradiente gradP=(dP/dx;0;0) in queto caso la divergena del campo F, per cui è valido il teo di gauss è scritt in maniera identica al gradiente del campo P, allora mi chiedo se in questo caso sia possibile applicare il teorema di gauss e dire che l'integrale sul volume V del gradP sia uguale al flusso di P attrverso la superficie chiusa.
E' importante, perchè il mio testo di fluidodinamica fa proprio questo passaggio per dimostrare "matematicamente" la spinta di archimede...
Consideriamo il teorema di gauss o della divergenza, esso afferma che l'integrale del flusso su una superficie chiusa di un campo F è uguale all'integrale sul volume V racchiuso dalla superficie S della divergenza di F.
La divergenza di F, in R^3 è divF=dF/dx+dF/dy+dF/dx
Immaginiamo che il campo F sia nella forma F=(f(x,y,z); cost1;cost2)
in questo caso divF=dF/dx
Adesso consideriamo un campo scalare P(x,y,z), il cui gradiente gradP=(dP/dx;0;0) in queto caso la divergena del campo F, per cui è valido il teo di gauss è scritt in maniera identica al gradiente del campo P, allora mi chiedo se in questo caso sia possibile applicare il teorema di gauss e dire che l'integrale sul volume V del gradP sia uguale al flusso di P attrverso la superficie chiusa.
E' importante, perchè il mio testo di fluidodinamica fa proprio questo passaggio per dimostrare "matematicamente" la spinta di archimede...
Risposte
C'e' qualcosa che non va; se integri il gradiente di P ottieni un vettore, non uno scalare. Quindi non puoi uguagliarlo all'integrale del flusso di P.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Scusami se mi intrometto... Ma l'operatore divergenza si applica ad un vettore, quindi se definisci lo scalare P non ha senso applicare il teorema della divergenza... Perchè in soldoni un flusso è l'integrale di un prodotto SCALARE tra vettore del campo e versore normale alla superficie, e allora non ha senso parlare di flusso di P.
Ciao!
Marco
Ciao!
Marco
esatto! neanche ame quadra troppo, anzi, per niente, però quel dannatissimo libro fa così e mi sta mandando in bestia!
Non ha senso quello che fa, se fa proprio cosi'. Che libro e'? Magari ci do' un'occhiata io.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Salve,
avanzo una ipotesi (i vettori in grassetto):
Poiché il campo vettoriale F che nel teorema di Gauss è arbitrario (salvo il rispetto di alcune condizioni) allora, come hai detto tu, esso può assumersi nella forma F=Fi. Il teorema di Gauss fornisce dunque l'identità:
Integrale_su_V_di dF/dx (attenzione: derivata parziale) *dV =
=Integrale_su_S_di F*nx dS (1)
dove nx è la componente nella direzione dell'asse x del versore normale alla superficie.
Allo stesso modo di prima ponendo F=Fj e F=Fk si ottengono:
Integrale_su_V_di dF/dy dV =
=Integrale_su_S_di F*ny dS (2)
Integrale_su_V_di dF/dz dV =
=Integrale_su_S_di F*nz dS (3)
A questo punto, moltiplicando la (1) per i, la (2) per j, la (3) per k e sommando membro a membro si ottiene:
Integrale_su_V_di grad_F dV =
=Integrale_su_S_di F n dS (4)
A sinistra e a destra dell'uguale c'è una grandezza vettoriale e i conti dovrebbero tornare.
nota 1: il secondo membro della (4) non è un flusso. E' un integrale di superficie su di una funzione vettoriale definita su S che ha per direzione quella del versore n (il verso è lo stesso di n se in quel punto F è positivo, altrimenti è opposto), e modulo pari al valore assoluto di F nello stesso punto sulla superficie di S.
nota 2: probabilmente la (4) non c'entra niente con l'argomento che stai studianto e, quindi, la sua utilità sarà per te nulla. Tuttavia il risultato della (4) mi pare corretto.
Cordiali Saluti,
Marcello
avanzo una ipotesi (i vettori in grassetto):
Poiché il campo vettoriale F che nel teorema di Gauss è arbitrario (salvo il rispetto di alcune condizioni) allora, come hai detto tu, esso può assumersi nella forma F=Fi. Il teorema di Gauss fornisce dunque l'identità:
Integrale_su_V_di dF/dx (attenzione: derivata parziale) *dV =
=Integrale_su_S_di F*nx dS (1)
dove nx è la componente nella direzione dell'asse x del versore normale alla superficie.
Allo stesso modo di prima ponendo F=Fj e F=Fk si ottengono:
Integrale_su_V_di dF/dy dV =
=Integrale_su_S_di F*ny dS (2)
Integrale_su_V_di dF/dz dV =
=Integrale_su_S_di F*nz dS (3)
A questo punto, moltiplicando la (1) per i, la (2) per j, la (3) per k e sommando membro a membro si ottiene:
Integrale_su_V_di grad_F dV =
=Integrale_su_S_di F n dS (4)
A sinistra e a destra dell'uguale c'è una grandezza vettoriale e i conti dovrebbero tornare.
nota 1: il secondo membro della (4) non è un flusso. E' un integrale di superficie su di una funzione vettoriale definita su S che ha per direzione quella del versore n (il verso è lo stesso di n se in quel punto F è positivo, altrimenti è opposto), e modulo pari al valore assoluto di F nello stesso punto sulla superficie di S.
nota 2: probabilmente la (4) non c'entra niente con l'argomento che stai studianto e, quindi, la sua utilità sarà per te nulla. Tuttavia il risultato della (4) mi pare corretto.
Cordiali Saluti,
Marcello
Ok, allora se quanto dice jakill è formalmente corretto i conti tornano: La pressione infatti è sempre normale alla superficie a cui è applicata, quindi se consideriamo un'areola infinitesima dS la forza rislutante su di essa è PndS...
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