Per la serie di potenze: dubbi
Buongiorno. Anche di domenica si deve passare un pò di tempo a fare qualche esercizio. A parte ciò, che serve sempre, ho qualche dubbio con una serie di potenze. La serie é $\sum_{n=oo}^N (x^(3n+1)/(n2^n))$. Come primo approccio, ho sostituito $z=3n+1$ ritrovandomi con la nuova serie $x^(z)/(n2^n)$. Ho provato risolverlo con il criterio del rapporto, ma non mi ha dato risultato; invece con il criterio del rapporto, avendo $\lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n2^n)$,dovrebbe venire $1/2$. In conseguenza, il raggio di convergenza è $=2$.
Non capisco se il raggio di convergenza (se giusto), a sto punto di $x^z$, sia lo stesso di $x^(3n+1)$ o se devo ancora fare qualche semplificazione.
Poi, il valore della serie (e quindi il reciproco è il raggio di convergenza) non ho capito come possa essere giusto poter fare un $lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n2^n)=1/2$ dato che l'elevazione a $n$ di $n2$ va via con la radice, ma se poi sviluppo il $lim_{n \to \infty}$ e quindi sostituito a n $oo$, non dovrebbe venire $1/oo$ e quindi $=0$?
Io ho svolto cosí l'esercizio, dal trovare il valore della serie usando il criterio della radice in poi, guardando la soluzione, un pò diversa per diversità di svolgimento, dato che è stato svolto così: $\sum_{n=oo}^N (x^(3n+1)/(n2^n))$ $=>$ $x\sum_{n=oo}^N (t^n/(n8^n)) ,t=x^3$ e quindi trovandosi con la serie $\lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n8^n)$ che è $=1/8$ e quindi il raggio per t è $=8$ e per x è $=root(3)(8)=2$.
È guandando la soluzione che mi sono venuti i dubbi.....
Non capisco se il raggio di convergenza (se giusto), a sto punto di $x^z$, sia lo stesso di $x^(3n+1)$ o se devo ancora fare qualche semplificazione.
Poi, il valore della serie (e quindi il reciproco è il raggio di convergenza) non ho capito come possa essere giusto poter fare un $lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n2^n)=1/2$ dato che l'elevazione a $n$ di $n2$ va via con la radice, ma se poi sviluppo il $lim_{n \to \infty}$ e quindi sostituito a n $oo$, non dovrebbe venire $1/oo$ e quindi $=0$?
Io ho svolto cosí l'esercizio, dal trovare il valore della serie usando il criterio della radice in poi, guardando la soluzione, un pò diversa per diversità di svolgimento, dato che è stato svolto così: $\sum_{n=oo}^N (x^(3n+1)/(n2^n))$ $=>$ $x\sum_{n=oo}^N (t^n/(n8^n)) ,t=x^3$ e quindi trovandosi con la serie $\lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n8^n)$ che è $=1/8$ e quindi il raggio per t è $=8$ e per x è $=root(3)(8)=2$.
È guandando la soluzione che mi sono venuti i dubbi.....
Risposte
A parte il fatto che la somma va da $1$ a $+\infty$ e non da $\infty$ a $N$, lo svolgimento del testo è corretto, il tuo no. Hai infatti fatto una sostituzione dell'esponente, in sostanza hai cambiato l'indice di sommatoria, ma non dappertutto, per cui non so bene che casino hai combinato. L'approccio che invece hai messo come soluzione del testo è corretto, non si sostituisce mai la $n$, ma si cerca di ricondursi a serie di potenze scritte in "forma canonica".
Sì, mi scuso per aver messo la serie da $oo$ a $N$, ma non avendo mai utilizzato questa funzione, come è successo, mi sono abbastanza incasinato nel riportarla.
Rileggendo l'osservazione fattomi, ho si posto $z=3n+1$ ma poi non mi sono ricavato la $n$ e successivamente sostituito in tutta la funzione. Se facevo così, mi ricavo $n=(z+1)/3$ ottenevo $\sum_{n=1}^oo x^z/(((z+1)/3)2^((z+1)/3))$ con conseguente analisi della serie $\sum_{n=1}^oo 1/(((z+1)/3)2^((z+1)/3))$. Se applico il criterio della radice, otterò $\sum_{n=1}^oo (((z+1)/3)2^((z+1)/3))/((((z+1)+1)/3)2^(((z+1)+1)/3))$ $=>$ $\sum_{n=1}^oo (((z+1)/3)2^((z+1)/3))/(((z+2)/3)2^(((z+2)/3))$ però arrivato a questo punto non saprei cosa fare per risolvere.....
Il fatto che non c'è niente da poter semplificare....
Rileggendo l'osservazione fattomi, ho si posto $z=3n+1$ ma poi non mi sono ricavato la $n$ e successivamente sostituito in tutta la funzione. Se facevo così, mi ricavo $n=(z+1)/3$ ottenevo $\sum_{n=1}^oo x^z/(((z+1)/3)2^((z+1)/3))$ con conseguente analisi della serie $\sum_{n=1}^oo 1/(((z+1)/3)2^((z+1)/3))$. Se applico il criterio della radice, otterò $\sum_{n=1}^oo (((z+1)/3)2^((z+1)/3))/((((z+1)+1)/3)2^(((z+1)+1)/3))$ $=>$ $\sum_{n=1}^oo (((z+1)/3)2^((z+1)/3))/(((z+2)/3)2^(((z+2)/3))$ però arrivato a questo punto non saprei cosa fare per risolvere.....
Il fatto che non c'è niente da poter semplificare....
Oltre al fatto che una volta effettuata la sostituzione $z=3n+1$ la sommatoria è da riferirsi a $z$ e non ad $n$, direi che ci sono almeno altri due errori. Il criterio che stai applicando è quello del rapporto e non della radice e, inoltre, ottenuto il rapporto devi farne il limite con $z->\infty$.
si è vero, la sommatoria, una volta che faccio la sostituzione di $z=3n+q$. Mi sono sbagliato a scrivere che usavo il criterio della radice, ma bensì in realtà ho usato il criterio del rapporto; il fatto che non ho indicato il limite con $z to oo$ l'ho fatto volutamente per tagliare un pò. Però continuo a non capire come poter poi andare avanti nello sviluppo dell'esercizio...
Come ti è stato già suggerito, conviene "lavorare" su $n$.
Secondo me la sostituzione che operi ti incasina solo, dimenticala e impara la soluzione del libro e falla tua. Poi passa ad altri esercizi e cerca di imitarla.
Ok, grazie, allora farò tesoro del procedimento di soluzione. L'unica cosa che non capisco, è come nel $\lim_{n \to \infty} 1/root(n)(n8^n)$ la soluzione sia poi $=1/8$, perchè va bene che $(n8^n)^(1/n)$ si semplificano, ma poi rimane (se è giusto come sto procedendo) $8n$ e se sostituisco a $n$ l'$oo$ del limite mi dovrebbe venire $1/oo$ e quindi $=0$. Non riesco solo a capire come $n$ al denominatore possa semplificarsi.
$(n8^n)^(1/n)=n^(1/n)8$.....
Fai più attenzione.
Fai più attenzione.
Si è vero %-), che sbadato che sono.... Ma poi? A $n$ sostituisco $oo$, e dovrebbe rimanere $1/((oo^0)8)$....non mi torna qualcosa....
Va beh, però un po' di elasticità..
Questa è una forma indeterminata, infatti:
$lim_(n->\infty)n^(1/n)=\infty^0
Ma si può riscrivere nella seguente maniera:
$lim_(n->\infty)n^(1/n)=lim_(n->\infty)e^(logn/n)=e^0=1
Il penultimo passaggio lo ottieni per confronto tra infiniti. Tiè, proprio con il cucchiaino.
Questa è una forma indeterminata, infatti:
$lim_(n->\infty)n^(1/n)=\infty^0
Ma si può riscrivere nella seguente maniera:
$lim_(n->\infty)n^(1/n)=lim_(n->\infty)e^(logn/n)=e^0=1
Il penultimo passaggio lo ottieni per confronto tra infiniti. Tiè, proprio con il cucchiaino.
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