Per la dim del teo di brouwer..
ciao a tutti!! nella dimostrazione del teorema di brouwer per i punti fissi mi sono ritrovata davanti qst pezzo di dimostrazione che nn m è molto chiara... bisogna dimostrare che una data funzione $f_t = x + t f_a(x)$ è suriettiva dove:
$f_t :A \rightarrow A_t$, $A_t = \{ x \in R^n : 1/2 sqrt(1+t^2) \leq ||x|| \leq 3/2 sqrt(1+t^2) \}$ e $ A = { x \in R^n : 1/2 \leq ||x|| \leq 3/2 \}$ Inoltre $ f_a :A \rightarrow R^n $ è definita mediante la legge $f_a(x) = ||x||f(\frac{x}{||x||})$ con f funzione del teorema dalla palla unitaria in se.
tra le ipotesi abbiamo anche che $|t|< 1/3$.
La linea della dimostrazione che $f_t$ è suriettiva è qst: dimostriamo che dato $c$ tale che $||c|| = ||x||(sqrt(1+t^2))$ esiste un $x$ con $1/2 \leq ||x|| \ leq 3/2$ tale che $c= x + t f_a (x)$ e supponiamo dapprima che $||c||=1$.
allora si ha: $x = c - tf_a(x) = F(x)$. Dimostriamo che $F:A \rightarrow A$.
QUESTA è LA PARTE CHE NN MI è CHIARA:
$ ||t f_a(x)|| = |t| ||f_a(x)||< 1/3 ||x||< 1/2 (perchè 1/2 \leq ||x|| \ leq 3/2 ) $
segue che
$1/2 = ||c|| - 1/2 \leq ||c - f_a(x)|| \leq ||c|| + 1/2 = 3/2$
questo dimostra che $F:A \rightarrow A$.
PERCHè??? grazieee
$f_t :A \rightarrow A_t$, $A_t = \{ x \in R^n : 1/2 sqrt(1+t^2) \leq ||x|| \leq 3/2 sqrt(1+t^2) \}$ e $ A = { x \in R^n : 1/2 \leq ||x|| \leq 3/2 \}$ Inoltre $ f_a :A \rightarrow R^n $ è definita mediante la legge $f_a(x) = ||x||f(\frac{x}{||x||})$ con f funzione del teorema dalla palla unitaria in se.
tra le ipotesi abbiamo anche che $|t|< 1/3$.
La linea della dimostrazione che $f_t$ è suriettiva è qst: dimostriamo che dato $c$ tale che $||c|| = ||x||(sqrt(1+t^2))$ esiste un $x$ con $1/2 \leq ||x|| \ leq 3/2$ tale che $c= x + t f_a (x)$ e supponiamo dapprima che $||c||=1$.
allora si ha: $x = c - tf_a(x) = F(x)$. Dimostriamo che $F:A \rightarrow A$.
QUESTA è LA PARTE CHE NN MI è CHIARA:
$ ||t f_a(x)|| = |t| ||f_a(x)||< 1/3 ||x||< 1/2 (perchè 1/2 \leq ||x|| \ leq 3/2 ) $
segue che
$1/2 = ||c|| - 1/2 \leq ||c - f_a(x)|| \leq ||c|| + 1/2 = 3/2$
questo dimostra che $F:A \rightarrow A$.
PERCHè??? grazieee
Risposte
L'ultima serie di formula e' misteriosa.. in effetti hai solo dimostrato che $\frac{1}{2}\leq\frac{3}{2}$
Da quale libro è presa la dimostrazione di Brouwer che stai studiando?
già concordo sul mistero e sul fatto che qll formule sn un gatto che si morde la coda!! cmq sn appunti di un prof...
Non sono in rete?
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