Per favore aiutatemi con questo integrale curvilineo!!!

[dungedra]

Ecco l'immagine:

[dungedra]

[emaz92]

la semicirconferenza in questione è: $y=sqrt(1-x^2)$. A questo punto puoi parametrizzare la curva chiamando $x=t$ e $y=sqrt(1-t^2)$. Ti verrebbe: $int_-1^1 tsqrt(1-t^2)(-t)dt/sqrt(1-t^2)=int_-1^1(-t^2)dt=-1/3-1/3=-2/3$

[emaz92]

scusa non avevo visto il modulo, comunque la sostanza è la stessa!!!!

[istochebotta]

Secondo me:

$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$0
$int_0^1$ $int_0^ (pi/2) rho^3sin(theta)cos(theta)d theta drho - int_0^1$ $int_(pi/2)^ (pi) rho^3sin(theta)cos(theta)d theta drho$

dato che $int sin(theta)cos(theta)d theta = 1/2sin^2(theta)$

$int_0^1 1/2 rho^3 drho + int_0^1 1/2 rho^3 drho$

$1/8+1/8 = 1/4$

fatemi sapere

[emaz92]

"istochebotta":Secondo me:

$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$0
$int_0^1$ $int_0^ (pi/2) rho^3sin(theta)cos(theta)d theta drho - int_0^1$ $int_(pi/2)^ (pi) rho^3sin(theta)cos(theta)d theta drho$

dato che $int sin(theta)cos(theta)d theta = 1/2sin^2(theta)$

$int_0^1 1/2 rho^3 drho + int_0^1 1/2 rho^3 drho$

$1/8+1/8 = 1/4$

fatemi sapere

ma perchè l' integrale doppio? cosa centra? è per sapere, mi sembrava strano, però forse perchè lo parametrizzi in due variabili?

[emaz92]

col mio metodo ho sbagliato, provo a rifarlo: $int_-1^0 -tsqrt(1-t^2)sqrt[(t^2/(1-t^2)+1)]dt + int_0^1 tsqrt(1-t^2)sqrt[(t^2/(1-t^2)+1)]dt$ dovrebbe essere questo da risolvere, con la stessa parametrizzazione di prima, e ci dovrebbero essere diverse semplificazioni

[emaz92]

il mio integrale viene $1$, quanto deve venire l' esercizio?

[Giuly191]

Ehm, scusate ma perchè non usare questa parametrizzazione? $ul(psi(t))=(cost,sint)$ dove $t in [0,pi]$
Siccome $ int_(ul(psi))|xy|ds = int_(0)^(pi)|costsint|||psi'(t)||dt=1/2int_(0)^(pi)|sin2t|dt=1/2int_(0)^(pi/2)sin2tdt + 1/2int_(pi/2)^(pi)-sin2tdt=1 $

[emaz92]

"Giuly19":Ehm, scusate ma perchè non usare questa parametrizzazione? $ul(psi(t))=(cost,sint)$ dove $t in [0,pi]$
Siccome $ int_(ul(psi))|xy|ds = int_(0)^(pi)|costsint|||psi'(t)||dt=1/2int_(0)^(pi)|sin2t|dt=1/2int_(0)^(pi/2)sin2tdt + 1/2int_(pi/2)^(pi)-sin2tdt=1 $

va bene certo, ma non semplifica poi cosi tanto, allora non mi sbagliavo, il risultato è 1