Per capire se una serie è monotona decr. posso usare la f' ?
cioè, quando devo applicare il criterio di Leibniz (quindi studiare se la serie è monotona decrescente), la serie è abbastanza complicata e se imposto la disequazione non ne vengo fuori
non posso studiarla su una serie asintotica perchè il segno non si trasmettte per asintoticità,
allora, il mio dubbio è: posso fare la derivata prima del termine generale e da lì capire se è monotona descr. o meno? sarebbe sbagliato farlo?
grazie!!
non posso studiarla su una serie asintotica perchè il segno non si trasmettte per asintoticità,
allora, il mio dubbio è: posso fare la derivata prima del termine generale e da lì capire se è monotona descr. o meno? sarebbe sbagliato farlo?
grazie!!
Risposte
Io credo di no e ti faccio un esempio che ho visto a lezione:
\(\displaystyle \sum \) (-1)^k sin (1/k)
La serie è a termini con segni alterni, quindi è possibile applicare il criterio di Leibnitz: se il termine generale tende a zero decrescendo allora la serie converge.
Si vede chiaramente che il termine generale tende a zero per k tendente a +\(\displaystyle \infty \), quindi rimane da verificare la decrescenza. Possiamo studiare la derivata prima di sin (1/k):
f ' [sin (1/k)] = cos (1/k)(-1/k^2) = - cos (1/k^3).
Essendo k sempre positivo, la derivata prima risulta essere negativa per ogni valore di k. Dunque la descrescenza del termine generale e la convergenza della serie.
\(\displaystyle \sum \) (-1)^k sin (1/k)
La serie è a termini con segni alterni, quindi è possibile applicare il criterio di Leibnitz: se il termine generale tende a zero decrescendo allora la serie converge.
Si vede chiaramente che il termine generale tende a zero per k tendente a +\(\displaystyle \infty \), quindi rimane da verificare la decrescenza. Possiamo studiare la derivata prima di sin (1/k):
f ' [sin (1/k)] = cos (1/k)(-1/k^2) = - cos (1/k^3).
Essendo k sempre positivo, la derivata prima risulta essere negativa per ogni valore di k. Dunque la descrescenza del termine generale e la convergenza della serie.
"Roxie":
cos (1/k)(-1/k^2) = - cos (1/k^3).
Questo passaggio non mi convince...
Se $f:[1,+\infty) \to \RR$ è una funzione derivabile e $f'(x) \le 0$ per ogni $x\ge 1$, allora la successione $(f(k))_k$ è monotona decrescente.
Non puoi derivate direttamente i termini di una successione (non ha nemmeno senso), ma se hai un'estensione $f$ come sopra puoi derivate tale estensione.
Per capirci, se hai $a_k = \sin (1/k)$, puoi considerare la funzione $f(x) = \sin (1/x)$, $x\in [1, +\infty)$.
Poiché $f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} < 0 $ per ogni $x\ge 1$, concludi che $a_k = f(k)$ è una successione monotona decrescente.
Non puoi derivate direttamente i termini di una successione (non ha nemmeno senso), ma se hai un'estensione $f$ come sopra puoi derivate tale estensione.
Per capirci, se hai $a_k = \sin (1/k)$, puoi considerare la funzione $f(x) = \sin (1/x)$, $x\in [1, +\infty)$.
Poiché $f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} < 0 $ per ogni $x\ge 1$, concludi che $a_k = f(k)$ è una successione monotona decrescente.
"Seneca":
[quote="Roxie"] cos (1/k)(-1/k^2) = - cos (1/k^3).
Questo passaggio non mi convince...[/quote]
Ho sbagliato a scrivere, anzi diciamo che ho fatto un'operazione un po' azzardata!!
ok, praticamente se ho ben capito posso ricorre alla "funzione associata" solo se questa è derivabile e definita nell'intervallo della serie
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