Pennello di Peano
Buongiorno a tutti,
ho un bel minestrone in testa :p sul pennello di peano.Ci sono tre punti che non riesco a capire:
1) ho l'equazione $ {y'=3(y)^(2/3), y(0)=0$
qui si dovrebbe verificare il fenomeno. Ma io qui vedo due soluzioni $y=0$ e $y=x^3$.. dove sarebbero le altre infinite??
2)Poi successivamente in un esempio sulla nonapplicazione del teorema dell'unicità ho sempre questo esempio e descrive così il fenomeno " se la soluzione tocca zero o sta un pò ferma sull'asse delle x oppure si ferma prima" .. cosa significa? che tipo di grafico ottengo?
3) poi invece ho che nella $ {y'=3(y)^(2/3), y(0)=1$ dovrei avere l'unicità.. e la soluzione sarà $(x+1)^3$.
Ma anche questa soluzione "tocca "zero e per questo punto non c'è l'unicità ( per teorema di unicità locale) quindi anche qui le soluzioni come sopra o si "fermano per un pò sull'asse x " oppure si fermano prima?
ho un bel minestrone in testa :p sul pennello di peano.Ci sono tre punti che non riesco a capire:
1) ho l'equazione $ {y'=3(y)^(2/3), y(0)=0$
qui si dovrebbe verificare il fenomeno. Ma io qui vedo due soluzioni $y=0$ e $y=x^3$.. dove sarebbero le altre infinite??
2)Poi successivamente in un esempio sulla nonapplicazione del teorema dell'unicità ho sempre questo esempio e descrive così il fenomeno " se la soluzione tocca zero o sta un pò ferma sull'asse delle x oppure si ferma prima" .. cosa significa? che tipo di grafico ottengo?
3) poi invece ho che nella $ {y'=3(y)^(2/3), y(0)=1$ dovrei avere l'unicità.. e la soluzione sarà $(x+1)^3$.
Ma anche questa soluzione "tocca "zero e per questo punto non c'è l'unicità ( per teorema di unicità locale) quindi anche qui le soluzioni come sopra o si "fermano per un pò sull'asse x " oppure si fermano prima?
Risposte
1) Le soluzioni (almeno per quanto riguarda la semiretta \(x\geq 0\)) sono del tipo
\[
y_c(x) :=
\begin{cases}
0, &\text{se}\ x\leq c,\\
(x-c)^3, &\text{se}\ x > c,
\end{cases}
\]
al variare di \(c\in [0,+\infty)\). Si verifica infatti immediatamente che queste sono tutte funzioni di classe \(C^1(\mathbb{R})\) tali che \(y_c(0) = 0\) e che soddisfano puntualmente l'equazione differenziale.
Se provi a disegnarle, ottieni la risposta anche per 2).
3) Quel problema ha un'unica soluzione locale.
\[
y_c(x) :=
\begin{cases}
0, &\text{se}\ x\leq c,\\
(x-c)^3, &\text{se}\ x > c,
\end{cases}
\]
al variare di \(c\in [0,+\infty)\). Si verifica infatti immediatamente che queste sono tutte funzioni di classe \(C^1(\mathbb{R})\) tali che \(y_c(0) = 0\) e che soddisfano puntualmente l'equazione differenziale.
Se provi a disegnarle, ottieni la risposta anche per 2).
3) Quel problema ha un'unica soluzione locale.
per quanto riguarda la 1credo di aver capito..
Ho fatto il disegno ma ancora la 2 non l'ho ben capita.. cioè nel disegno comunque le soluzioni toccano lo "0" quindi significa che devono "sostare" per un pò cioè non possono bloccarsi prima ( scusa se parlo in questo modo poco rigoroso ma è per capire meglio)
per la 3 c'è soluzione locale .. ma nel punto 0 quindi non è garantita? si ritorna al punto di sopra?
Ho fatto il disegno ma ancora la 2 non l'ho ben capita.. cioè nel disegno comunque le soluzioni toccano lo "0" quindi significa che devono "sostare" per un pò cioè non possono bloccarsi prima ( scusa se parlo in questo modo poco rigoroso ma è per capire meglio)
per la 3 c'è soluzione locale .. ma nel punto 0 quindi non è garantita? si ritorna al punto di sopra?
Unicità locale per il PdC significa che due soluzioni qualsiasi, localmente (cioè in un opportuno intorno di \(x_0\) dove sono entrambe definite) devono coincidere.
Nel caso di \(y(0) = 1\), due soluzioni coincidono sempre almeno per \(x>-1\), dunque coincidono localmente.
Per capirci, se ritagli un intorno rettangolare del punto \((0,1)\) che non tocchi l'asse \(x\), lì dentro l'unica soluzione del PdC è \(y(x) = (x-1)^3\).
Nel caso di \(y(0) = 1\), due soluzioni coincidono sempre almeno per \(x>-1\), dunque coincidono localmente.
Per capirci, se ritagli un intorno rettangolare del punto \((0,1)\) che non tocchi l'asse \(x\), lì dentro l'unica soluzione del PdC è \(y(x) = (x-1)^3\).
si però non deve toccare l'asse x e quando invece lo tocca?
per quanto riguarda invece il caso 2 cosa succede?
per quanto riguarda invece il caso 2 cosa succede?
In generale, una di queste soluzioni quando tocca l'asse delle \(x\) (sia in avanti che all'indietro) può seguire l'asse delle \(x\) per un certo intervallo e poi raccordarsi con un altro ramo di cubica (oppure proseguire indefinitamente lungo l'asse delle \(x\)).
Per capirci, una soluzione può essere del tipo
\[
y(x) = \begin{cases}
(x-x_1)^3, &\text{se}\ x < x_1,\\
0, &\text{se}\ x_1\leq x \leq x_2,\\
(x-x_2)^3, &\text{se}\ x > x_2,
\end{cases}
\]
con \(x_1 \leq x_2\).
Le altre soluzioni sono quella identicamente nulla, oppure quelle ottenute raccordando un solo ramo di cubica (sinistro o destro) con la soluzione nulla.
Tutto questo, come ti ho già spiegato, non è in conflitto col teorema di unicità locale per i PdC con dato iniziale \(y_0\neq 0\).
Per capirci, una soluzione può essere del tipo
\[
y(x) = \begin{cases}
(x-x_1)^3, &\text{se}\ x < x_1,\\
0, &\text{se}\ x_1\leq x \leq x_2,\\
(x-x_2)^3, &\text{se}\ x > x_2,
\end{cases}
\]
con \(x_1 \leq x_2\).
Le altre soluzioni sono quella identicamente nulla, oppure quelle ottenute raccordando un solo ramo di cubica (sinistro o destro) con la soluzione nulla.
Tutto questo, come ti ho già spiegato, non è in conflitto col teorema di unicità locale per i PdC con dato iniziale \(y_0\neq 0\).
M agraficamente non vedrò mai rami che "si staccano" prima di toccare l'asse delle x giusto? cioè una volta toccati proseguono come dici tu per un po sull'asse delle x giusto?
cmq:l'equazione $ y'= sqrt(y), y(0)=0$ siverifica sempre lo stesso fenomeno? perchè anche qui ho che in 0 non è verificata l'unicità locale e tra le soluzioni ho l'asse delle x..
cmq:l'equazione $ y'= sqrt(y), y(0)=0$ siverifica sempre lo stesso fenomeno? perchè anche qui ho che in 0 non è verificata l'unicità locale e tra le soluzioni ho l'asse delle x..
"streghettaalice":
M agraficamente non vedrò mai rami che "si staccano" prima di toccare l'asse delle x giusto? cioè una volta toccati proseguono come dici tu per un po sull'asse delle x giusto?
Possono anche non seguirlo; considera ad esempio \(y(x) = x^3\).
cmq:l'equazione $ y'= sqrt(y), y(0)=0$ siverifica sempre lo stesso fenomeno? perchè anche qui ho che in 0 non è verificata l'unicità locale e tra le soluzioni ho l'asse delle x..
E' qualcosa di simile; la differenza sta nel fatto che il secondo membro è definito solo per \(y\geq 0\), quindi le soluzioni globali (a parte quella identicamente nulla) seguono l'asse delle \(x\) fino ad un certo punto, e si raccordano in modo \(C^1\) con un arco di parabola da lì in poi.
Possono anche non seguirlo; considera ad esempio \(y(x) = x^3\).
però quello che mi preme sapere è se posso dire che non posso staccare prima il ramo dall'asse( una tra le ipotesi che potevano succedere ) perchè le soluzioni sono globali cioè definite su tutto $RR$ quindi "staccare " prima significherebbe definire la soluzione in un intervallo non più globale..
Puoi "staccare" e raccordare con un altro ramo di cubica, come per le \(y_c\) definite all'inizio.
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