Peano PICARD-per equazioni differenziali ordinarie
Ciao a tutti amici,
qualcuno potrebbe gentilmente illustrarmi il metodo "PEANO PICARD" per l'approssimazione delle soluzioni di un equazione differenziale ordinaria?
non ho ben capito se si costruisce una successione per ricorrenza..
qualcuno puo' darmi una mano?
qualcuno potrebbe gentilmente illustrarmi il metodo "PEANO PICARD" per l'approssimazione delle soluzioni di un equazione differenziale ordinaria?
non ho ben capito se si costruisce una successione per ricorrenza..
qualcuno puo' darmi una mano?
Risposte
Se hai studiato il teorema di esistenza e unicità locale delle soluzioni di una eq.diff.ordinaria, hai probabilmente usato (magari in forma implicita) questo metodo nella dimostrazione. Mi spiego: se abbiamo il problema di Cauchy
(*):${(y'=f(t,y)), (y(x_0)=y_0):}$, e valgono le ipotesi di continuità e di Lipschitzianità (almeno locale) risp. alla y uniformemente risp. x per la funzione f, allora esiste un intorno di $x_0$ in cui esiste ed è unica la soluzione di (*). Per dimostrarlo si può fare questo:
-) osserviamo che (*) equivale (come equazione) a $y(x)=y_0+int_{x_0}^x f(t, y(t))\ dt$;
-) chiamiamo $T(y)(x):=y_0+int_{x_0}^x f(t, y(t))\ dt$, operatore funzionale da un sottospazio chiuso di $C(I)$ (quindi uno spazio metrico completo) in sé;
-) verifichiamo che $T$ è una contrazione e perciò ha un unico punto fisso.
Quest'ultimo punto segue dal teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Sempre questo teorema dice anche un'altra cosa: se $T:X->X$ è una contrazione e $X$ è completo, allora non solo $T$ ha un unico punto fisso, ma anche ogni successione definita ricorsivamente da $T$ converge a questo punto.
Perciò la successione di funzioni definita ricorsivamente come ${(y_{n+1}(x):=T(y_n)(x)), (y_0(x):=y_0\ \text{identicamente}) :}$ converge nello spazio delle funzioni continue (sottointeso: con la norma uniforme, quindi converge uniformemente) e converge alla soluzione di (*). Questo è il metodo di Peano-Picard.
(*):${(y'=f(t,y)), (y(x_0)=y_0):}$, e valgono le ipotesi di continuità e di Lipschitzianità (almeno locale) risp. alla y uniformemente risp. x per la funzione f, allora esiste un intorno di $x_0$ in cui esiste ed è unica la soluzione di (*). Per dimostrarlo si può fare questo:
-) osserviamo che (*) equivale (come equazione) a $y(x)=y_0+int_{x_0}^x f(t, y(t))\ dt$;
-) chiamiamo $T(y)(x):=y_0+int_{x_0}^x f(t, y(t))\ dt$, operatore funzionale da un sottospazio chiuso di $C(I)$ (quindi uno spazio metrico completo) in sé;
-) verifichiamo che $T$ è una contrazione e perciò ha un unico punto fisso.
Quest'ultimo punto segue dal teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Sempre questo teorema dice anche un'altra cosa: se $T:X->X$ è una contrazione e $X$ è completo, allora non solo $T$ ha un unico punto fisso, ma anche ogni successione definita ricorsivamente da $T$ converge a questo punto.
Perciò la successione di funzioni definita ricorsivamente come ${(y_{n+1}(x):=T(y_n)(x)), (y_0(x):=y_0\ \text{identicamente}) :}$ converge nello spazio delle funzioni continue (sottointeso: con la norma uniforme, quindi converge uniformemente) e converge alla soluzione di (*). Questo è il metodo di Peano-Picard.
una cosetta da aggiungere: quella successione di funzioni ( ${(y_{n+1}(x):=y_0+int_{x_0}^x f(t,y_n(t))\ dt), (y_0(x):=y_0\ \text{identicamente}) :}$ in forma esplicita), se non mi sbaglio, converge uniformemente anche se la funzione $f$ è solo continua (teorema di Peano), e la Lipschitzianità serve a garantire l'unicità della soluzione. Attenzione comunque perché non sono sicuro al 100%.
Si', la lipschitzianità serve per l'unicità.
Io ho presente la dim della esistenza di una sluzione, dim che si fa usando le spezzate di Eulero e il teorema di compattezza di Ascoli Arzelà. Che garantisce la convergenza di una sottosuccessione.
Non so se questa successione così costruita (Peano-Picard) converge tutta verso la soluzione. Non ci ho mai pensato, ma non dovrebbe essere difficilissima da dirimere, come questione (ovviamente non è interessante per quanto riguarda lo stabilire l'esistenza di una soluzione).
Linko questi appunti, che forse possono essere interessanti, per la domanda posta da stokesNavier
http://www.science.unitn.it/~baldo/vecc ... stenza.pdf
Io ho presente la dim della esistenza di una sluzione, dim che si fa usando le spezzate di Eulero e il teorema di compattezza di Ascoli Arzelà. Che garantisce la convergenza di una sottosuccessione.
Non so se questa successione così costruita (Peano-Picard) converge tutta verso la soluzione. Non ci ho mai pensato, ma non dovrebbe essere difficilissima da dirimere, come questione (ovviamente non è interessante per quanto riguarda lo stabilire l'esistenza di una soluzione).
Linko questi appunti, che forse possono essere interessanti, per la domanda posta da stokesNavier
http://www.science.unitn.it/~baldo/vecc ... stenza.pdf
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