PDE risoluzione

[MMPP12]

Ciao a tutti, ho un dubbio su come procedere nella risoluzione di un'equazione come questa

Sia $u=u(x,y,t)$
\begin{equation}
\partial_t^2u = \Delta u
\end{equation}
con dati iniziali $u(x,y,0)=cos(ax)sin(by)$ e $\partial_tu(x,y,0)=-cos(ax)sin(by)$

Dato che seno e coseno sono autofunzioni del laplaciano, cerco soluzioni del tipo:

$u(x,t)=f(t)sin(ax)cos(by)$ e sostituisco in (1):

$$ f''(t)sin(ax)cos(by)= -a^2f(t)sin(ax)cos(by)-b^2f(t)sin(ax)cos(by)+f''(t)sin(ax)cos(by)$$

Ma così trovo $f(t)=0$ ....

Guardando il procedimento nelle soluzioni il termine $f''(t)sin(ax)cos(by)$ non appare proprio, così da trovare un f(t) non nulla... Ma perchè? Nel laplaciano non devo considerare la derivata in $t$??

[bosmer-votailprof]

tipicamente, nei problemi di fisica almeno, nel laplaciano e nel gradiente si considerano solo le derivate spaziali.

[Raptorista1]

Non solo in fisica. Il laplaciano è definito come la divergenza del gradiente spaziale, quindi nel tuo caso \(\Delta u = \partial_{xx} u + \partial_{yy} u\). Tra l'altro, se le derivate temporali fossero incluse nel laplaciano le semplificheresti [che poi è quello che succede] e non avresti un problema evolutivo, quindi non avresti condizioni di Cauchy.