PDE primo ordine svolta: è corretta?

[zornale]

Salve, ho la seguente PDE del primo ordine:

[tex]\begin{array}{lc}
u_{t}+\frac{2}{3x}u_{x}=\frac{1+t}{3x} & t>0,x\in R\\
u(0,x)=1+sin(x)\end{array}[/tex]

devo risolverla con il metodo delle caratteristiche. Mi potete indicare se e dove sbaglio per favore?

parametrizzo in s:

[tex]$x=x(s),t=t(s),u=u\left[x(s),t(s)\right]$[/tex]
[tex]$\frac{du}{ds}=u_{t}t_{s}+u_{x}x_{s}$[/tex]
[tex]$\frac{dt}{ds}=1\Rightarrow t=s,t=0\Rightarrow s=0$[/tex]
[tex]$\frac{dx}{ds}=\frac{2}{3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3}t+x_{0}$[/tex]

dunque la curva caratteristica è:
[tex]$x_{0}=x-\frac{2}{3}t$[/tex]

la ODE per u é:
[tex]$\frac{du}{ds}=\frac{1+t}{3x}=\frac{1+s}{2s+3x_{0}}$[/tex]

che integrata su s dà:
[tex]$u=\frac{s}{2}-\frac{\left(3x_{0}-2\right)ln\left(2s+3x_{0}\right)}{4}+c$[/tex]

per t=0 e quindi s=0 sfruttando il dato di Cauchy ho:
[tex]$u(s=0)=-\frac{\left(3x_{0}-2\right)ln\left(3x_{0}\right)}{4}+c=1+sin(x_{0})$[/tex]

e quindi c è uguale a:
[tex]$c=1+sin(x_{0})+\frac{\left(3x_{0}-2\right)ln(3x_{0})}{4}$[/tex]

di conseguenza u è:
[tex]$u(x,t)=\frac{t}{2}-\frac{\left[3\left(x-\frac{2}{3}t\right)-2\right]ln\left[2t+3\left(x-\frac{2}{3}t\right)\right]}{4}+1+sin(x-\frac{2}{3}t)+\frac{\left[3\left(x-\frac{2}{3}t\right)-2\right]ln\left[3\left(x-\frac{2}{3}t\right)\right]}{4}$[/tex]

secondo voi, ha senso?

grazie

[ciampax]

Ci sono due cose che non mi convincono:
1) l'equazione, scritta così, non è definita per $x=0$: hai pensato a come "ovviare" a tale problema?
2) tu scrivi $dx/{ds}=2/3x$ e quindi $x=2/3 t+x_0$. Ma la soluzione dell'equazione differenziale per $x$ è $x^2=2/3 s+c$, quindi c'è qualcosa che non torna! (e ovviamente la risoluzione che ottieni è errata!)