PDE primo ordine quasi lineari
Salve ragazzi vorrei sottoporvi il seguente dubbio:
In un problema PDE quasi lineare:
$ { ( u_t +q'(u)u_x=0; (x,t)inD ),( u(x,0)=g(x);x in[x_0,x_1] ):} $
Il teorema per l'esistenza della soluzione afferma che se: $ g in C^1(x_0,x_1) $ , $ q in C^2(g[x_0,x_1]) $ e si abbia $ q''[g(x)]g'(x)>=0 $ con $ D=[(x,t) :t>0, x_0+q'[g(x_0)]t
In questo caso ho il seguente problema:
$ { ( u_t+u u_x=0 ),( u(x,0)=g(x) ):} $
dove: $ { ( 2 ; x<0 ),( 0;01 ):} $
Siccome in questo caso la $ g(x) $ non è continua ma solo continua a tratti e con derivata prima continua posso comunque avere soluzione classica? Se si, potreste anche spiegarmi gentilmente il perché?
In un problema PDE quasi lineare:
$ { ( u_t +q'(u)u_x=0; (x,t)inD ),( u(x,0)=g(x);x in[x_0,x_1] ):} $
Il teorema per l'esistenza della soluzione afferma che se: $ g in C^1(x_0,x_1) $ , $ q in C^2(g[x_0,x_1]) $ e si abbia $ q''[g(x)]g'(x)>=0 $ con $ D=[(x,t) :t>0, x_0+q'[g(x_0)]t
In questo caso ho il seguente problema:
$ { ( u_t+u u_x=0 ),( u(x,0)=g(x) ):} $
dove: $ { ( 2 ; x<0 ),( 0;0
Siccome in questo caso la $ g(x) $ non è continua ma solo continua a tratti e con derivata prima continua posso comunque avere soluzione classica? Se si, potreste anche spiegarmi gentilmente il perché?
Risposte
Non hai soluzioni classiche, si formano onde di rarefazione e onde di shock. E' lungo da spiegare qui, devi vederlo su un libro, io queste cose le ho studiate sull'Evans (cerca "Rankine-Hugoniot condition"), ma puoi consultare molti altri libri di PDE. C'è un libro di Sandro Salsa che sicuramente fa bene queste cose.
Grazie per il consiglio. Da quello che ho capito non ottengo soluzione classica ma "debole" in questo caso.
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