[PDE] Nucleo di Poisson

[Euphurio]

Sto leggendo Partial Differential Equations di Evans. Nella sezione dedicata allo studio dell'equazione di Laplace si vuole determinare la funzione di Green nel semispazio [tex]R^n_+[/tex]. A tal fine si introduce il nucleo di Poisson come [tex]K(x,y)=\frac{2x_n}{n \alpha(n)}\frac{1}{|x-y|^n}[/tex] dove [tex]x\in R^n_+[/tex] e [tex]y\in \partial R^n_+[/tex] ([tex]\alpha(n)=|B(0,1)|[/tex] in [tex]R^n[/tex] )

Successivamente in una dimostrazione, l'autore afferma che [tex]\int_{\partial R^n_+} K(x,y) dy=1[/tex]. Non sono mica riuscito a dimostrarlo vero! Mi dareste una mano per capire dove sbaglio? [tex]y[/tex] varia sulla frontiera e per tal motivo, se [tex]y=(y_1,\dots,y_n)[/tex] segue che [tex]y_n=0[/tex].

Grazie e saluti!

[ciampax]

Hai provato a farlo per $n=2$ e $n=3$? La risoluzione di questi due casi dovrebbe suggerirti come procedere in generale.

[gugo82]

I conti sono un po' lunghi e serve la relazione dei complementi per la funzione [tex]$\Gamma$[/tex], che mette in relazione la funzione [tex]$\Gamma$[/tex] di Eulero e la funzione [tex]$B$[/tex] (beta):

[tex]$B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\ \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$[/tex].

I conti li riporto sotto.

Ovviamente, tralasciando la costante moltiplicativa, ciò che conta è calcolare:

[tex]$\int_{\partial \mathbb{R}_+^n} \frac{1}{|x-y|^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} y =\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \frac{1}{(|\xi -\eta|^2+x_n^2)^{\frac{n}{2}}} \text{d} \eta$[/tex]

ove si è posto per comodità [tex]$x=(\xi ,x_n)$[/tex] ed [tex]$y=(\eta ,y_n)$[/tex]; l'idea è quella di integrare in coordinate polari in [tex]$\mathbb{R}^{n-1}$[/tex], dato che la funzione integranda a secondo membro è radiale (per fissato [tex]$\xi$[/tex]).
Per semplificare la notazione, facciamo il cambiamento di variabili:

[tex]$\tau= \frac{1}{x_n}\ (\xi -\eta)$[/tex]:

ricordato che $x_n>0$, tale cambiamento di variabili ha jacobiano uguale in modulo a [tex]$\tfrac{1}{x_n^{n-1}}$[/tex] e risulta [tex]$|\xi -\eta|^2 =x_n^2 |\tau|^2$[/tex], sicché:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \frac{1}{(|\xi -\eta|^2+x_n^2)^{\frac{n}{2}}} \text{d} \eta =\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \frac{1}{x_n (|\tau|^2 +1)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} \tau$[/tex];

passando in coordinate polari:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \frac{1}{(|\xi -\eta|^2+x_n^2)^{\frac{n}{2}}} \text{d} \eta =\int_0^{+\infty} \frac{(n-1)\alpha (n-1) r^{n-2}}{x_n (r^2 +1)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} r$[/tex],

e la costante moltiplicativa si semplifica già con quella di [tex]$K(x,y)$[/tex], di modo che:

[tex]$\int_{\partial \mathbb{R}_+^n} K(x,y)\ \text{d} y= 2\frac{(n-1)\alpha(n-1)}{n\alpha(n)}\ \int_0^{+\infty} \frac{r^{n-2}}{(r^2 +1)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} r$[/tex].

A questo punto, il coefficiente moltiplicativo si semplifica con le proprietà della [tex]$\Gamma$[/tex] e della $B$, divenendo [tex]$=\frac{2\ \Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma (\tfrac{1}{2})\ \Gamma (\tfrac{n-1}{2})} = \frac{2}{B(\tfrac{1}{2} , \tfrac{n-1}{2})}$[/tex], ergo:

[tex]$\int_{\partial \mathbb{R}_+^n} K(x,y)\ \text{d} y= \frac{2}{B(\tfrac{1}{2} , \tfrac{n-1}{2})}\ \int_0^{+\infty} \frac{r^{n-2}}{(r^2 +1)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} r$[/tex]

e rimane da far vedere che l'integrale a secondo membro uguaglia proprio [tex]$\frac{B(\tfrac{1}{2} , \tfrac{n-1}{2})}{2}$[/tex]: questo si fa facendo la sostituzione [tex]$\rho =\tfrac{r^2}{r^2+1}$[/tex] nel suddetto integrale (se non m'inganno) e ricordando la definizione di [tex]$B(x,y)$[/tex], cioè:

[tex]$B(x,y):=\int_0^1 \rho^{x-1} (1-\rho)^{y-1} \text{d} \rho$[/tex].

[Euphurio]

Ottimo! Grazie per il suggerimento. Adesso cerco dei testi per approfondire la cosa. Ti ringrazio!

[gugo82]

Tanto vale finire i conti, facendo esplicitamente qualche passaggio...

Abbiamo:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{r^{n-2}}{(1+r^2)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} r =\int_0^{+\infty} \left( \frac{r^2}{1+r^2}\right)^{\frac{n}{2}-1}\ \frac{1}{1+r^2}\ \text{d} r$[/tex];

posto [tex]$\rho = \tfrac{r^2}{1+r^2}$[/tex] ossia [tex]$r=\rho^{\frac{1}{2}} (1-\rho)^{-\frac{1}{2}}$[/tex], si ha:

[tex]$\text{d} \rho = \frac{2r}{(1+r^2)^2}\ \text{d} r =\frac{2r}{1+r^2}\ \frac{1}{1+r^2}\ \text{d} r$[/tex],

da cui:

[tex]$\frac{1}{1+r^2}\ \text{d} r = \frac{1+r^2}{2r}\ \text{d} \rho$[/tex]
[tex]$=\frac{r}{2\rho}\ \text{d} \rho$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ \rho^{-\frac{1}{2}} (1-\rho)^{-\frac{1}{2}}\ \text{d} \rho$[/tex];

sostituendo nell'integrale si trova:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{r^{n-2}}{(1+r^2)^{\frac{n}{2}}}\ \text{d} r = \frac{1}{2}\ \int_0^1 \rho^{\frac{n}{2}-1} \rho^{-\frac{1}{2}} (1-\rho)^{-\frac{1}{2}}\text{d} \rho$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ \int_0^1 \rho^{\frac{n-1}{2} -1} (1-\rho)^{\frac{1}{2} -1}\text{d} \rho$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ B(\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{1}{2})$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ B(\tfrac{1}{2}, \tfrac{n-1}{2})$[/tex],

come si voleva.

Ovviamente, i conti li si è fatti perchè non sono affatto immediati (come accade quasi sempre, quando si ha a che fare con le funzioni speciali ed il calcolo esplicito degli integrali multipli).

[Euphurio]

grazie mille