PDE non lineare
Ciao a tutti!
Avrei questa eq. alle derivate parziali da risolvere dove l'incognita è H(x,t) e H_t denota la derivata parziale rispetto a t e similmente H_x e H_xx le derivate rispetto ad x e due volte rispetto ad x e c1,c2,c3 costanti:
H_t + c1 x*H_x + c2 x^2 * H_xx + c3 x^2 * (H_x)^2 = 0
con x che appartiene ad R e t compreso tra 0 e T
con condizione finale H(x,T)=1 per ogni x
Se non ci fosse il termine non lineare (H_x)^2 e x fosse solo positivo ci si può ricondurre, attraverso il cambio di variabili x=E*e^(y), t=T-F*s, H=E*v(y,s) dove F ed E sono costanti, ad una pura equazione di diffusione forward a sua volta riconducibile a quella del calore e quindi si può avere una soluzione in forma chiusa...
Ma questa...? Qualcuno sa qualche maniera per trovare una soluzione? Magari qualche linearizzazione tenendo conto che "i valori che mi interessano per x" sono quelli vicini a 0... quindi fare un qualche tipo di sviluppo attorno ad x=0?
Grazie a tutti
Avrei questa eq. alle derivate parziali da risolvere dove l'incognita è H(x,t) e H_t denota la derivata parziale rispetto a t e similmente H_x e H_xx le derivate rispetto ad x e due volte rispetto ad x e c1,c2,c3 costanti:
H_t + c1 x*H_x + c2 x^2 * H_xx + c3 x^2 * (H_x)^2 = 0
con x che appartiene ad R e t compreso tra 0 e T
con condizione finale H(x,T)=1 per ogni x
Se non ci fosse il termine non lineare (H_x)^2 e x fosse solo positivo ci si può ricondurre, attraverso il cambio di variabili x=E*e^(y), t=T-F*s, H=E*v(y,s) dove F ed E sono costanti, ad una pura equazione di diffusione forward a sua volta riconducibile a quella del calore e quindi si può avere una soluzione in forma chiusa...
Ma questa...? Qualcuno sa qualche maniera per trovare una soluzione? Magari qualche linearizzazione tenendo conto che "i valori che mi interessano per x" sono quelli vicini a 0... quindi fare un qualche tipo di sviluppo attorno ad x=0?
Grazie a tutti
Risposte
hai provato a separare le variabili?
no non funziona in questo caso... almeno per quel che ho provato io...
nessuno sa qualcosa?
Potresti esplicitare le condizioni al contorno e sopratuutto il dominio?
x appartiene ad R, può assumere cioè ogni valore da -inf a +inf;
t appartiene a [0,T];
condizione finale H(x,T)=0 (E NON 1 COME AVEVO SCRITTO ERRONEAMENTE) per ogni x
comunque la variabile x mi "interessa" nei valori "vicini a 0"... per quello magari speravo in una possibile linearizzazione per x vicino a 0...
se non sono stato chiaro in qualcosa ditemelo
t appartiene a [0,T];
condizione finale H(x,T)=0 (E NON 1 COME AVEVO SCRITTO ERRONEAMENTE) per ogni x
comunque la variabile x mi "interessa" nei valori "vicini a 0"... per quello magari speravo in una possibile linearizzazione per x vicino a 0...
se non sono stato chiaro in qualcosa ditemelo
e a meno e più infinito la soluzione cosa fa? Converge a valori costanti?
Non ho condizioni sul comportamento a + e -infinito
Temo però che ci sia qualcuno che non va in tutto questo... se in un modello di diffusione ho alla fine dappertutto 0... andando backward vuol dire che ho 0 dappertutto... e pure se ci metto un termine non lineare non cambia no?
A occhio non direi che si comporta come una equazione di diffusione...hai verificato se è parabolica?
Forse nel limite $x->0$ i termini non lineari e del secondo ordine sono trascurabili e la tua soluzione potrebbe essere approssimata con la soluzione generale dell'equazione di diffusione, quella che si comporta come una gaussiana centrata in zero...
Forse nel limite $x->0$ i termini non lineari e del secondo ordine sono trascurabili e la tua soluzione potrebbe essere approssimata con la soluzione generale dell'equazione di diffusione, quella che si comporta come una gaussiana centrata in zero...
"GIOVANNI IL CHIMICO":
A occhio non direi che si comporta come una equazione di diffusione...hai verificato se è parabolica?
Forse nel limite $x->0$ i termini non lineari e del secondo ordine sono trascurabili e la tua soluzione potrebbe essere approssimata con la soluzione generale dell'equazione di diffusione, quella che si comporta come una gaussiana centrata in zero...
La qual cosa non si concilia per niente col dato finale
Sorry non avevo visto la correzione alle condizioni al contorno...non so come aiutarti.
Nel limite di x che tende a zero tutti i termini che contengono x diventano infinitesimi, chi più in fretta di altri, perchè ti interessano i valori in quel limite?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Nel limite di x che tende a zero tutti i termini che contengono x diventano infinitesimi, chi più in fretta di altri, perchè ti interessano i valori in quel limite?
Questa equazione viene fuori da una Hamilton Jacobi Belman di controllo ottimo stocastico... e X segue un processo mean reverting attorno a 0...
Provo a dire una stupidata che mi viene in mente a caso, non si può provare con la trasformata di Laplace e qualche accorgimento astuto per trasformare $(H_x)^2$?
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