[PDE] - Equazione del trasporto con dato al bordo insolito

[Gianmarco0012]

Salve, è il primo post che pubblico e spero di farlo nel modo corretto. Mi sono imbattuto in questo esercizio sull'equazione del trasporto: Scrivere la soluzione esatta al tempo t=1 per il seguente problema:
$ { ( (deltau)/(deltat) +3(deltau)/(deltat)=0 ),( u(x,0)=max(-x,0) ) , (u(-1,t)=1):} $
Tutti i precedenti esercizi che ho svolto di questo tipo:
$ { ( (deltau)/(deltat)+a(deltau)/(deltax)=0 ),( u(x,0)=g(x) ):} $
Li ho risolti applicando il metodo delle caratteristiche e in particolare la seguente formula risolutiva:
$ u=g(x-at) $
Ora il mio problema è quello di come trattare il dato al bordo, e non so proprio come partire perchè la g(x) è "strana" (almeno per me).
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi. Grazie in anticipo.

[gugo82]

Beh, non è mica tanto strana come funzione... Solamente è definita per casi.

Infatti:
\[
\begin{split}
\max \{ -x,0\} &:= \begin{cases} -x &\text{, se } -x\geq 0\\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}\\
&= \begin{cases} -x &\text{, se } x\leq 0\\ 0 &\text{, se } x>0 \; ,\end{cases}
\end{split}
\]
no?

[Gianmarco0012]

Grazie per la risposta. Ho provato a svolgerlo in questo modo ma non sono del tutto convinto del risultato.
Ho disegnato le curve caratteristiche come $ x=x0+3t $ e le ho suddivise in due gruppi: quelle con $ -1<=x<=3t $ e quelle con $ x>3t $ .
Per quelle $ x>3t $ ho imposto il dato $ u(x,0)={ ( -x , x<=0 ),( 0 , x>0 ):} $ ottenendo la soluzione $ { ( -x+3t , x<=0 ),( 0 , x>0 ):} $ per $ x>3t $ .
Invece per le caratteristiche $ -1<=x<=3t $ ho imposto il dato $ u(-1,t) $ , ottenendo il sistema: $ { ( g(-1-3t)=-t , x<=0 ),( g(-1-3t)=0 , x>0 ):} $ .
Ora effettuando una sostituzione ponendo: $ s=-1-3t $ e quindi $ t=(-s-1)/3 $ ottengo il sistema: $ { ( g(s)=(S+1)/3 , x<=0 ),( g(s)=0 , x>0 ):} $
e quindi $ { ( g(x-3t)=(x-3t+1)/3 , x<=0 ),( g(x-3t)=0 , x>0 ):} $ .
Quindi la soluzione sarà: $ { ( x-3t ,x>3t ),( (x-3t+1)/3 , -1<=x<=3t ),( 0 , x>0 ):} $
Non so se il rpocedimento è giusto perchè è la prima volta che faccio un esercizio del genere con una funzione definita per casi. (il testo del problema diceva di considerare il trasporto in $ (-1 , oo )x(0 , T) $ )

[gugo82]

"Gianmarco001":Scrivere la soluzione esatta al tempo t=1 per il seguente problema:
\[
\begin{cases}
u_t +3u_x = 0 &\text{, in } \mathbb{R}\times ]0,+\infty[\\
u(x,0) = \max\{ -x,0\} &\text{, per } x\in \mathbb{R} \\
u(-1,t) = 1 &\text{, per } t\geq 0
\end{cases}
\]

Se non sbaglio, posto \(g(x) := \max\{ -x,0\}\), la soluzione del problema SENZA la seconda condizione si ricava dalla nota formula che citi, cioè:
\[
\begin{split}
u(x,t) &= g(x-3t) \\
&= \max \{ 3t-x , 0\} \\
&= \begin{cases} 3t - x &\text{, se } 3t-x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } 3t-x<0\end{cases}\\
&= \begin{cases} 3t - x &\text{, se } x\leq 3t \\ 0 &\text{, se } x>3t\; .\end{cases}
\end{split}
\]
D'altra parte, però, questa funzione non soddisfa la seconda condizione, cioè $u(-1,t)=1$, poiché si ha:
\[
u(-1,t) = 3t+1 \neq 1 = h(t)\qquad \forall t > 0\; .
\]
Quindi mi viene da chiedere: sei sicuro di aver trascritto bene il problema?

EDIT: Scusa, non avevo letto le ultime due righe del post.
L'insieme in cui vale l'equazione è dunque \(\Omega = ]-1,+\infty[\times ]0,+\infty[\), quindi le condizioni sono entrambe assegnate sul bordo di \(\Omega\).
Il valore della soluzione in un generico punto \((x,t)\in \Omega\), allora, dipende essenzialmente da quale parte del bordo la caratteristica passante per \((x,t)\) va a toccare. In particolare, puoi facilmente vedere che:

[*:321weq2p] se la caratteristica tocca la parte verticale del bordo, i.e. quella di equazione \(x=-1\), allora \(u(x,t)=1\);
[/*:m:321weq2p]
[*:321weq2p] se la caratteristica tocca la parte orizzontale del bordo su cui \(g=0\), allora \(u(x,t)=0\);
[/*:m:321weq2p]
[*:321weq2p] se la caratteristica tocca la parte orizzontale del bordo su cui \(g=-x\), allora \(u(x_0,t_0)=3t-x\).[/*:m:321weq2p][/list:u:321weq2p]

Ora, a quanto vedo, le curve caratteristiche della PDE hanno equazioni cartesiane:
\[
x-3t = k
\]
con $k\in \RR$ parametro; l'insieme \(\Omega\) viene diviso dalle caratteristiche in tre zone:



[*:321weq2p] se $k <= -1$ allora la caratteristica $x-3t=k$ incontra \(\partial \Omega\) sulla parte verticale, in cui la soluzione vale $1$; pertanto, nella zona:
\[
\Omega_1 := \big\{ (x,t) \in \Omega: x-3t \leq -1\big\}
\]
si ha \(u(x,t)=1\);
[/*:m:321weq2p]
[*:321weq2p] se $-1< x <= 0$ allora la caratteristica $x-3t=k$ incontra \(\partial \Omega\) sulla parte orizzontale in cui la soluzione vale \(-x\), i.e. sul segmento \(]-1,0]\) dell'asse \(x\); pertanto nella zona:
\[
\Omega_2 := \big\{ (x,t) \in \Omega: -1 < x-3t \leq 0 \big\}
\]
si ha \(u(x,t)=3t-x\);
[/*:m:321weq2p]
[*:321weq2p] se $k > 0$ allora la caratteristica $x-3t=k$ incontra \(\partial \Omega\) sulla parte orizzontale in cui la soluzione vale $0$; pertanto, nella zona:
\[
\Omega_3 := \big\{ (x,t) \in \Omega: x-3t > 0\big\}
\]
si ha \(u(x,t) = 0\).[/*:m:321weq2p][/list:u:321weq2p]

Ne consegue che la soluzione del problema è:
\[
u(x,t) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x-3t\leq -1,\ x\geq -1,\ t\geq 0\\
3t-x &\text{, se } -1< x-3t\leq 0,\ x\geq -1,\ t\geq 0\\
0 &\text{, se } x-3t> 0,\ x\geq -1,\ t\geq 0\; .\\
\end{cases}
\]

[Gianmarco0012]

Grazie mille gentilissimo. Finalmente ho capito. Il problema richiedeva di calcolare la soluzione al tempo $ t=1 $ che a questo punto è : $ u(x,1)={ ( 1 ),( 3-x ),( 0 ):} $ . Alla fine andava svolto come tutti gli altri esercizi, l'unica cosa a cui fare attenzione era il dato al bordo definito per casi.