PDE (ambiente classico): wave equation

[_prime_number]

Devo svolgere il seguente esercizio con il metodo delle serie di Fourier:
$u_(t t)-u_(x x) +u =0 $
$u_x (0,t)=u_x(\pi, t) $
$ u(x,0)=0$
$ u_t(x,0)=1+cos^3 x $
qui $u$ è una funzione in 2 variabili, $x\in [0,\pi], t\geq 0$. Con $u_x$ indico la derivata prima in $x$.

Ora, io ho iniziato l'esercizio come abbiamo di solito fatto in classe, ovvero cercando soluzioni del tipo $X(x)T(t)$ con lo scopo finale di scrivere $u(x,t)=\sum_{n} X_n(x) T_n(t)$. Utilizzando la prima equazione ottengo:
$(T''(t))/(T(t))=(X''(x) - X(x))/(X(x))=-\lambda$ e dunque le due soluzioni generiche:
$T(t)= a cos(\sqrt{\lambda} t) + b sin (\sqrt{\lambda} t)$
$X(x)=c cos(\sqrt{\lambda-1} x)+d sin (\sqrt{\lambda-1} x)$ (A)
Ponendo la condizione $u(x,0)=0$ ottengo $a=0$. A questo punto inizia la mia confusione: ponendo la seconda condizione dovrei avere
$b \sqrt{\lambda} X(x)=1+cos^3 x, \forall x\in [0,\pi]$
Ma se ricavo da qui $X(x)$ essa non rispetta l'equazione (A).
Non so, sembra un esercizio semplice ma sono un po' impelagata. Qualcuno può darmi una mano a spantanarmi?

Paola

[^Tipper^1]

Io l'ho risolto così:

$(X'')/X=(T'')/T+1=-mu^2$

$X_n(x)=c_1cosmux+c_2sinmux$ quindi $X'_n(x)=-c_1musinmux+c_2mucosmux$

Sfruttando $u_x(0,t)=u_x(pi,t)=0$ si ha $c_2=0$ e quindi $sinmupi=0 -> mupi=npi -> mu=n, X_n(x)=cosnx$

$(T'')/T=-1-mu^2=-lambda^2$, $lambda^2=mu^2+1 -> lambda=sqrt(n^2+1)$

$T(t)=c_3cossqrt(n^2+1)t+c_4sinsqrt(n^2+1)t$

Sfruttando la condizione $u(x,0)=0$ si ha $c_3=0$

$u(x,t)=sumA_ncosnxsinsqrt(n^2+1)t$

$u_t=sumA_ncosnxcossqrt(n^2+1)t*sqrt(n^2+1)$

$u_t(x,0)=1+cos^3x=sumA_ncosnx*sqrt(n^2+1)$

Per la determinazione degli $A_n$, prendilo ancora di più con le molle:

$A_nsqrt(n^2+1)=B_n$, $B_n=2/piint_0^picosnx(1+cos^3x)dx$, $B_0=1/piint_0^pi1+cos^3xdx$

[_prime_number]

Attenzione, la condizione è $u_x (0,t) = u_x (\pi, t)$. Non sono anche uguali a zero!

Paola

[Rigel1]

Penso che dovresti contemplare anche il caso \(\lambda < 0\).

[_prime_number]

"Rigel":Penso che dovresti contemplare anche il caso \(\lambda < 0\).

Perché? Considera che il corso è piuttosto basic, quindi probabilmente possiamo dare certe cose per scontate.
In ogni caso ancora non ne esco :S.

Paola

[Rigel1]

Quando separi le variabili sai che ciascun membro è costante, ma non necessariamente negativo.
Spesso il fatto che la costante debba essere negativa (per avere soluzioni non nulle) discende da condizioni di periodicità, che tu però non hai.
Mi sembra che (ma non ho fatto con attenzione i conti) per \(\mu = -\lambda > 0\) e imponendo le condizioni \(X'(0) = X'(\pi)\), \(T(0) = 0\) si ottengano soluzioni del tipo \(X(x) = a \cosh(\sqrt{1+\mu} \,x)\), \(T(t) = b \sinh (\sqrt{\mu} \,t)\).
Occorrerà poi costruire una serie tale che sia soddisfatta (dalla somma) anche la condizione \(X(x) T'(0) = 1+\cos^3 x\).

[gugo82]

Se non mi sbaglio, la soluzione è:
\[
u(x,t) := \sin t -\frac{3}{4\sqrt{2}}\ \sin \sqrt{2}\ t\ \cos x -\frac{1}{4\sqrt{10}}\ \sin \sqrt{10}\ t\ \cos 3x\; .
\]
Quando ti assegnano questi esercizi, non c'è nulla da fare: ti devi sporcare le mani coi conti...

Innanzitutto notiamo che:
\[
1-\cos^3 x = 1-\frac{3}{4}\ \cos x -\frac{1}{4}\ \cos 3x
\]
quindi nella condizione su \(u_t\) sono presenti tre armoniche (d'ordine \(0,\ 1,\ 3\)), e tale condizione si riscrive:
\[
u_t(x,0) = 1-\frac{3}{4}\ \cos x -\frac{1}{4}\ \cos 3x \qquad \text{, in } [0,\pi]\; .
\]
Conseguentemente basterà, per linearità, risolvere separatamente i tre problemi al contorno che si ottengono imponendo separatamente le tre condizioni:
\[
\underbrace{u_t(x,0)=1}_{\text{C}_0},\quad \underbrace{u_t(x,0) = -\frac{3}{4}\ \cos x}_{\text{C}_1},\quad \underbrace{u_t(x,0)=-\frac{1}{4}\ \cos 3x}_{\text{C}_2}
\]
e sommando le soluzioni.

Come già notato, separando le variabili si ottengono le due EDO:
\[
\ddot{T} -\lambda T =0 \qquad \text{e} \qquad X^{\prime \prime} -(\lambda+1)X=0
\]
(i puntini per le derivate temporali e gli apici per quelle spaziali).
Consideriamo separatamente le due equazioni e distinguiamo i casi:

i. \(\lambda >0\): in tal caso l'integrale generale della prima equazione è \(T(t) = a\ e^{\sqrt{\lambda}\ t} +b\ e^{-\sqrt{\lambda}\ t}\);

ii. \(\lambda =0\): in tal caso l'integrale generale della prima equazione è \(T(t) = a\ t+b\);

iii. \(\lambda < 0\): in tal caso l'integrale generale della prima equazione è \(T(t) = a\ \cos \sqrt{|\lambda|}\ t +b\ \sin \sqrt{|\lambda|}\ t\);

1. \(\lambda >-1\): in tal caso l'integrale generale della seconda equazione è \(X(x) = A\ e^{\sqrt{\lambda +1}\ x} +B\ e^{-\sqrt{\lambda +1}\ x}\);

2. \(\lambda =-1\): in tal caso l'integrale generale della seconda equazione è \(X(x) = A\ x +B\);

3. \(\lambda < -1\): in tal caso l'integrale generale della seconda equazione è \(X(x) = A\ \cos \sqrt{|\lambda +1|}\ x +B\ \sin \sqrt{|\lambda +1|}\ x\).

Quindi le soluzioni "base" della PDE si ottengono:

(a) \(\lambda >0\), allora \(u(x,t) = (A\ e^{\sqrt{\lambda +1}\ x} +B\ e^{-\sqrt{\lambda +1}\ x})\ (a\ e^{\sqrt{\lambda}\ t} +b\ e^{-\sqrt{\lambda}\ t})\);

(b) \(\lambda =0\), allora \( u(x,y) = (A\ e^{x} +B\ e^{-x})\ (a\ t+b)\);

(c) \(-1<\lambda <0\), allora \(u(x,y) = (A\ e^{\sqrt{\lambda +1}\ x} +B\ e^{-\sqrt{\lambda +1}\ x})\ (a\ \cos \sqrt{|\lambda|}\ t +b\ \sin \sqrt{|\lambda|}\ t)\);

(d) \(\lambda =-1\), allora \(u(x,y) = (A\ x+B)\ (a\ \cos t +b\ \sin t)\);

(e) \(\lambda < -1\), allora \(u(x,y) = (A\ \cos \sqrt{|\lambda +1|}\ x +B\ \sin \sqrt{|\lambda +1|}\ x)\ (a\ \cos \sqrt{|\lambda|}\ t +b\ \sin \sqrt{|\lambda|}\ t)\).

Chiaramente nessuna delle soluzioni dei tipi (a), (b) e (c) può soddisfare alcuna delle tre condizioni iniziali \(\text{C}_0\), \(\text{C}_1\) e \(\text{C}_2\), quindi le scartiamo.

Una soluzione del tipo (d) può, almeno in linea di principio, soddisfare \(\text{C}_0\); quindi andiamo ad imporre le condizioni iniziali.
Imponendo \(u(x,0)=0\) e \(u_t(x,0)=1\) si ottiene:
\[
\begin{cases}
a\ (A\ x +B)=0 &\text{, in } [0,\pi]\\
b\ (A\ x+B)=1 &\text{, in } [0,\pi]
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
a=0=A \\
b=1=B
\end{cases}
\]
e quindi otteniamo \(u^0(x,t) = \sin t\).
Notiamo che \(u_x^0(x,t)=0\), quindi è verificata anche la condizione di periodicità sulla derivata, i.e. \(u_x^0 (0,t)=0=u_x^0 (\pi ,t)\).

Le soluzioni di tipo (e), invece, hanno buone possibilità di soddisfare \(\text{C}_1\) e \(\text{C}_2\), quindi andiamo ad imporre le condizioni iniziali.
Imponendo \(u(x,0)=0\) ed \(u_t (x,0) = -\frac{3}{4}\ \cos x\), si ottiene:
\[
\begin{split}
\begin{cases}
a\ (A\ \cos \sqrt{\lambda +1}\ x +B\ \sin \sqrt{\lambda +1}\ x) =0 &\text{, in } [0,\pi]\\
b\ \sqrt{|\lambda|}\ (A\ \cos \sqrt{|\lambda +1|}\ x +B\ \sin \sqrt{|\lambda +1|}\ x) = -\frac{3}{4}\ \cos x &\text{, in } [0,\pi]
\end{cases} \quad &\Rightarrow \quad
\begin{cases}
a=0=B\\
|\lambda +1|=1\\
A\sqrt{|\lambda|} = -\frac{3}{4}
\end{cases} \\
& \Rightarrow \quad
\begin{cases}
a=0=B\\
\lambda=-2\\
A = -\frac{3}{4\sqrt{2}}
\end{cases}
\end{split}
\]
e quindi otteniamo \(u^1 (x,t) = -\frac{3}{4\sqrt{2}}\ \sin \sqrt{2}\ t\ \cos x\).
Notiamo che anche questa funzione soddisfa la condizione di periodicità \(u_x^1(0,t)=u_x^1 (\pi ,t)\).

Infine, imponendo \(u(x,0)=0\) ed \(u_t (x,0) = -\frac{1}{4}\ \cos 3x\), si ottiene:
\[
\begin{split}
\begin{cases}
a\ (A\ \cos \sqrt|{\lambda +1|}\ x +B\ \sin \sqrt{|\lambda +1|}\ x) =0 &\text{, in } [0,\pi]\\
b\ \sqrt{|\lambda|}\ (A\ \cos \sqrt{|\lambda +1|}\ x +B\ \sin \sqrt{|\lambda +1|}\ x) = -\frac{1}{4}\ \cos 3x &\text{, in } [0,\pi]
\end{cases} \quad &\Rightarrow \quad
\begin{cases}
a=0=B\\
|\lambda +1|=3\\
A\sqrt{|\lambda|} = -\frac{1}{4}
\end{cases} \\
&\Rightarrow \quad
\begin{cases}
a=0=B\\
\lambda=-10\\
A = -\frac{1}{4\sqrt{10}}
\end{cases}
\end{split}
\]
e quindi otteniamo \(u^2 (x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{10}}\ \sin \sqrt{10}\ t\ \cos 3x\).
Notiamo che anche questa funzione soddisfa la condizione di periodicità \(u_x^2 (0,t)=u_x^2 (\pi ,t)\).

Quindi la funzione:
\[
\begin{split}
u(x,t) &= u^0 (x,t)+u^1(x,t)+u^2(x,t) \\
&= \sin t -\frac{3}{4\sqrt{2}}\ \sin \sqrt{2}\ t\ \cos x -\frac{1}{4\sqrt{10}}\ \sin \sqrt{10}\ t\ \cos 3x
\end{split}
\]
è la soluzione del tuo problema.

[_prime_number]

Gugo, santo subito come al solito... Ti ringrazio tanto di aver incluso tutti i dettagli!
Grazie mille

Paola

[gugo82]

"prime_number":Gugo, santo subito come al solito... Ti ringrazio tanto di aver incluso tutti i dettagli!
Grazie mille.

Prego Paola.

Giusto per curiosità: in che università sei lì in Finlandia?

[_prime_number]

Sono alla University of Helsinki. Programmi un passaggio da queste parti?

Paola

[gugo82]

[OT]

No, Paola, troppo freddo per i miei gusti.

Ad ogni modo, dovrebbe venire Tadeusz Iwaniec dalle tue parti a tenere un corso breve in primavera. Ti consiglio di andarlo a seguire almeno una volta, che lui è bravo, simpatico e molto affabile.


P.S.: Perché non metti una fotina sulla tua homepage?

[/OT]