PDC con EDO non omo con lambda complesso

[umbe14]

Si è dato il seguente problema di Cauchy:
$\{(x''+4x=sin2t), (x(0)=3), (x'(0)=-1/4):}$.
Risolvendo il polinomio caratteristico risulta che l'autovalore associato è $\lambda=\pmi(sqrt2)$. Di conseguenza avremo:
$x_0(t)=C_1cos((sqrt2)t)+C_2sin((sqrt2)t)$
$x_p(t)=\Phi_1cos((sqrt2)t)+\Phi_2sin((sqrt2)t)$
$x'_p(t)=\Phi'_1(-sqrt2*sin((sqrt2)t))+\Phi'_2(sqrt2*cos((sqrt2)t))$
Ora, il wronskiano sarà
$W=|(cos((sqrt2)t),sin((sqrt2)t)),(-sqrt2*sin((sqrt2)t),(sqrt2*cos((sqrt2)t)))|=sqrt2$
Dunque avremo:
$W_1=|(0,sin((sqrt2)t)),(sin2t,sqrt2*cos((sqrt2)t))|= -sin(2t)sin(sqrt2(t))$
$W_2=|(cos(sqrt2(t)),0),(-sqrt2sin(sqrt(2)t),sin2t)|=sin(2t)cos(sqrt(2)t)$
E pertanto
$\Phi'_1=-sin(2t)sin(sqrt2(t))/sqrt2$
$\Phi'_2=sin(2t)cos(sqrt(2)t)/sqrt2$
Ora, ho solo il problema di risolvere gli integrali. Faccio sempre un po' fatica quando ci sono integrali con le funzioni goniometriche. Presumo qui sia saggio procedere per sostituzione. Qualcuno può aiutarmi?

[umbe14]

Ah, sì. Dato che verrebbero integrali un po' macchinosi potrei già sommare $x_p$ e $x_0$ scrivendo le due $\Phi$ come $int(-sin(2t)sin(sqrt2(t))/sqrt2)dt$ e $int(sin(2t)cos((sqrt2)t)/sqrt2)dt$ in $x$ e risolvendo gli integrali una volta sostituiti i valori richiesti dal pdc? Anche se mi sembra un po' forzata come cosa... Per $x'$ lascerei invece le due $\Phi'$ come le ho ottenute col wronskiano.

[dissonance]

Un autovalore non può dipendere da \(t\), rivedi per favore ciò che hai scritto.

[gugo82]

Aggiungo: ti converrebbe dare una lettura al cosiddetto metodo di somiglianza, che è condensato nel seguente schemino.

Quando il termine noto è del tipo "buono":
\[
e^{\alpha x}\ (p_n(x)\ \cos \beta x + q_n(x)\ \sin \beta x)
\]
(con \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) e \(p_n,q_m\) polinomi reali di grado \(n\) ed \(m\)) ed il numero complesso \(\alpha +\imath\ \beta\) ad esso associato:

[*:36nipy0z] non è soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, allora la soluzione particolare va cercata nella forma:
\[
e^{\alpha x}\ (P_\nu(x)\ \cos \beta x + Q_\nu(x)\ \sin \beta x)
\]
in cui \(P_\nu,Q_\nu\) sono polinomi incogniti (quindi, coi coefficienti da determinare) di grado \(\nu\) uguale al massimo tra i gradi di \(p_n\) e \(q_m\) (i.e. \(\nu = \max \{n,m\}\)).

[/*:m:36nipy0z]
[*:36nipy0z] è soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, allora la soluzione particolare va cercata nella forma:
\[
e^{\alpha x}\ x^\mu\ (P_\nu(x)\ \cos \beta x + Q_\nu(x)\ \sin \beta x)
\]
in cui \(\mu\) è la molteplicità di \(\alpha +\imath\ \beta\) come radice dell'equazione caratteristica e \(P_\nu,Q_\nu\) sono polinomi incogniti (quindi, coi coefficienti da determinare) di grado \(\nu\) uguale al massimo tra i gradi di \(p_n\) e \(q_m\) (i.e. \(\nu = \max \{n,m\}\)).[/*:m:36nipy0z][/list:u:36nipy0z]

[umbe14]

"dissonance":Un autovalore non può dipendere da \(t\), rivedi per favore ciò che hai scritto.

Mi era scappata solo una t di troppo

[donald_zeka]

Questa è proprio applicazione bruta del metodo di risoluzione, anche dove non è necessario...