PdC

[itisscience]

devo risolvere il PdC $ { ( y''+3y'+2y=e^x+e^(-x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $ .

trovo la soluzione generica: $ y(x)=c_1e^(-x)+c_2e^(-2x) $ .
ho problemi nel trovare la soluzione particolare: se non sbaglio vanno considerate le due funzioni test $ y_1(x)=Ae^x $ e $ y_2(x)=Bxe^(-x) $ allora $ y_1''+3y_1'+2y_1=6Ae^x=e^x=>A=1/6 $ .
però $ y_2''+3y_2'+2y_2=2Be^(-x)=e^(-x)=>B=1/2 $ non combacia con la soluzione del professore, che invece scrive $ B=1 $ . potreste aiutarmi a capire l'errore che commetto?

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

"itisscience":trovo la soluzione generica: $y(x) = c_1 e^{- x} + c_2 e^{−2x} $

Innanzitutto questa non si chiama soluzione generica, ma soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata, quindi più correttamente la indicherei con $y_o(x) = c_1 e^{- x} + c_2 e^{−2x} $
Quanto alla soluzione particolare con $Bx e^{- x} $ sbagli a fare le derivate, ricordati che è la derivata del prodotto di due funzioni, $x$ e $e^{- x} $: ha ragione il tuo professore, si ottiene $B = 1 $
Quindi in definitiva la soluzione dell'equazione differenziale del PdC proposto è la seguente:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^{- x} + c_2 e^{−2x} + x e^{- x} + 1/6 e^x $

[itisscience]

grazie!