PCauchy,soluzioni uniche
Il testo dice questo:
Dato il seguente problema di Cauchy:
${ ( y'=(1/(y-x^2)) ),( y(0)=a ):}$
Provare che se $a$ è diverso da $0$ esso ammette un'unica soluzione $y(x)$ in un intorno del punto $x=0$. Calcolare $y'(0)$ e $y''(0)$.
Su questo tipo di esercizio ne so davvero poco per cui se potete essere abbastanza esaustivi, ve ne sarei davvero molto grato. Io l'unica cosa che mi limitavo a fare quando mi capitava un problema di cauchy era risolvere l'equazione differenziale, e sostituire la condizione (ad esempio $y(0)=1$) nell risultato dell'equazione, per calcolarmi una costante D:
Dato il seguente problema di Cauchy:
${ ( y'=(1/(y-x^2)) ),( y(0)=a ):}$
Provare che se $a$ è diverso da $0$ esso ammette un'unica soluzione $y(x)$ in un intorno del punto $x=0$. Calcolare $y'(0)$ e $y''(0)$.
Su questo tipo di esercizio ne so davvero poco per cui se potete essere abbastanza esaustivi, ve ne sarei davvero molto grato. Io l'unica cosa che mi limitavo a fare quando mi capitava un problema di cauchy era risolvere l'equazione differenziale, e sostituire la condizione (ad esempio $y(0)=1$) nell risultato dell'equazione, per calcolarmi una costante D:
Risposte
Esistenza ed unicità locale seguono in genere da, appunto, teoremi di esistenza ed unicità locale (vedi qui, da pagina 67 in poi). Nella fattispecie nel tuo caso direi che tu ti debba servire del Teorema 5.2 delle dispense che ho linkato: devi mostrare che la legge dell'equazione differenziale è localmente Lipschitziana in \(y\); per fare ciò può essere utile l'Osservazione 5.3.
un po' articolato, proverò con calma, poi posto le mie considerazioni ed i mie risultati 
Rieccomi, ho visto un po' e sono giunto a questa conclusione, ma ho veramente tanti dubbi!
Ho il mio pdc:
${ ( y'=1/(y-x^2) ),( y(0)=a ):}$
Sia $A$ un generico sottoinsieme aperto di $R^(n+1)$ , siano $(0,a)$ appartenenti ad $A$, sia $f(x,y)$ appartiene a $C(A;R^n)$ una funzione localmente di Lipschitz in y; Allora esiste un $gamma>0$ tale che il problema di cauchy ha una soluzione unica $y$ in $C^1(I,R^n)$ nell'intervallo $I=[x_0 -gamma,x_0 + gamma]$
la mia $f(x,y) = 1/(y-x^2)$ sia $A$ un generico sottoinsieme di $R^(n+1)$, e siano $(0,a)$ appartenenti ad $A$, devo provare che la mia $f(x,y)$ appartenente a $C(A;R^n)$ sia localmente lipschitz in $y$.
devo quindi provare che la mia $f(x,y)$ sia continua in $A$ e che la derivata anche lo sia.
quindi ho per la funzione $f(x,y)$ dominio in $y != x^2$
faccio la derivata rispetto a $y$ e vedo se è continua.
$f_y(x,y)=x^2/(y-x)^2$. che ha come dominio $y != x^2$. se considero un sottoinsieme $A$ che escluda il punto $x^2$ allora la funzione è localmente di Lipschitz?
però visto che la mia funzione deve essere localmente lipschitz in $y$ allora devo controllare la continuità della derivata nel punto $y=a$? e quindi fare:
$lim_(y-->a^+) di x^2/(y-x)^2$ e
$lim_(y-->a^-) di x^2/(y-x)^2$
e se coincidono il teorema è verificato e quindi il problema di cauchy ha una soluzione unica $y=a$ in $C^1(I,R^n)$ nell'intervallo $I=[x_0 -gamma,x_0 + gamma]$ dove $x_0=0$ ?
Potresti Risolverlo punto per punto spiegando il perchè, delle cose che fai? io sono riuscito a capire quello che ho scritto, ma non so se è fatto bene D:
Ho il mio pdc:
${ ( y'=1/(y-x^2) ),( y(0)=a ):}$
Sia $A$ un generico sottoinsieme aperto di $R^(n+1)$ , siano $(0,a)$ appartenenti ad $A$, sia $f(x,y)$ appartiene a $C(A;R^n)$ una funzione localmente di Lipschitz in y; Allora esiste un $gamma>0$ tale che il problema di cauchy ha una soluzione unica $y$ in $C^1(I,R^n)$ nell'intervallo $I=[x_0 -gamma,x_0 + gamma]$
la mia $f(x,y) = 1/(y-x^2)$ sia $A$ un generico sottoinsieme di $R^(n+1)$, e siano $(0,a)$ appartenenti ad $A$, devo provare che la mia $f(x,y)$ appartenente a $C(A;R^n)$ sia localmente lipschitz in $y$.
devo quindi provare che la mia $f(x,y)$ sia continua in $A$ e che la derivata anche lo sia.
quindi ho per la funzione $f(x,y)$ dominio in $y != x^2$
faccio la derivata rispetto a $y$ e vedo se è continua.
$f_y(x,y)=x^2/(y-x)^2$. che ha come dominio $y != x^2$. se considero un sottoinsieme $A$ che escluda il punto $x^2$ allora la funzione è localmente di Lipschitz?
però visto che la mia funzione deve essere localmente lipschitz in $y$ allora devo controllare la continuità della derivata nel punto $y=a$? e quindi fare:
$lim_(y-->a^+) di x^2/(y-x)^2$ e
$lim_(y-->a^-) di x^2/(y-x)^2$
e se coincidono il teorema è verificato e quindi il problema di cauchy ha una soluzione unica $y=a$ in $C^1(I,R^n)$ nell'intervallo $I=[x_0 -gamma,x_0 + gamma]$ dove $x_0=0$ ?
Potresti Risolverlo punto per punto spiegando il perchè, delle cose che fai? io sono riuscito a capire quello che ho scritto, ma non so se è fatto bene D:
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