Pavimentazione di $RR^n$
Sto studiando la costruzione della misura di Lebesgue in $ RR ^ n $ e devo provare che ogni aperto $ A $ di $ RR ^ n $ è unione numerabile disgiunta di intervalli.
Nella dimostrazione dice di pavimentare $ RR ^ n $, scrivendolo come unione disgiunta di intervalli tutti uguali tra loro, nella seguente maniera:
si considera l'ipercubo unitario con un vertice in 0: $ Q_0= ([0,1[ )^ n $ e si trasla mediante vettori di traslazione di coordinate intere $ Q_0 + v $ con $ v \in Z^n $. Si ottiene così $ Omega _ 0 ={Q_0 + v | v \in ZZ^n} $ pavimentazione di $ RR ^n $ mediante ipercubi unitari disgiunti.
Pavimento ora $ RR ^ n $ mediante ipercubi disgiunti di lato $ \frac{1}{2} : Q_1=( [0, \frac{1}{2}[ )^n $ e considero $ Omega _ 1 ={Q_1 + v | v \in ZZ^n} $.
Procedo così considerando ipercubi di lato $ \frac{1}{2^k} : Q_k=([0, \frac{1}{2^k}[)^n $ e considero $ Omega _ k ={Q_k + v | v \in ZZ^n} $.
La mia domanda è: considerando sempre come pavimentazione $ Omega _ k ={Q_k + v | v \in ZZ^n} $ come si fa a ricoprire tutto $ RR ^ n $ visto che dal primo ipercubo $Q_k=([0, \frac{1}{2^k}[)^n $ mi sposto direttamente di un vettore con coordinate intere? E tutto ciò che c'è in mezzo tra $ \frac{1}{2^k} $ e $1$ ?
Nella dimostrazione dice di pavimentare $ RR ^ n $, scrivendolo come unione disgiunta di intervalli tutti uguali tra loro, nella seguente maniera:
si considera l'ipercubo unitario con un vertice in 0: $ Q_0= ([0,1[ )^ n $ e si trasla mediante vettori di traslazione di coordinate intere $ Q_0 + v $ con $ v \in Z^n $. Si ottiene così $ Omega _ 0 ={Q_0 + v | v \in ZZ^n} $ pavimentazione di $ RR ^n $ mediante ipercubi unitari disgiunti.
Pavimento ora $ RR ^ n $ mediante ipercubi disgiunti di lato $ \frac{1}{2} : Q_1=( [0, \frac{1}{2}[ )^n $ e considero $ Omega _ 1 ={Q_1 + v | v \in ZZ^n} $.
Procedo così considerando ipercubi di lato $ \frac{1}{2^k} : Q_k=([0, \frac{1}{2^k}[)^n $ e considero $ Omega _ k ={Q_k + v | v \in ZZ^n} $.
La mia domanda è: considerando sempre come pavimentazione $ Omega _ k ={Q_k + v | v \in ZZ^n} $ come si fa a ricoprire tutto $ RR ^ n $ visto che dal primo ipercubo $Q_k=([0, \frac{1}{2^k}[)^n $ mi sposto direttamente di un vettore con coordinate intere? E tutto ciò che c'è in mezzo tra $ \frac{1}{2^k} $ e $1$ ?
Risposte
"18Gigia18":
La mia domanda è: considerando sempre come pavimentazione $ Omega _ k ={Q_k + v | v \in ZZ^n} $ come si fa a ricoprire tutto $ RR ^ n $ visto che dal primo ipercubo $Q_k=([0, \frac{1}{2^k}[)^n $ mi sposto direttamente di un vettore con coordinate intere? E tutto ciò che c'è in mezzo tra $ \frac{1}{2^k} $ e $1$ ?
Ci deve essere un errore: \(Q_k\) verrà traslato usando vettori in \(2^{-k} \mathbb{Z}^n\). Semplicemente, ad ogni passo ricopri ancora tutto \(\mathbb{R}^n\) con cubi di lato dimezzato rispetto al passo precedente.
ok così mi ritrovo. Grazie...
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