Paura del concetto di limite.
Non so voi, ma io ho da sempre avuto una certa "paura" del concetto di limite, più che della definizione di esso. E' normale, secondo me, visto che il concetto di limite è qualcosa che sfugge al nostro "possesso". Forse è più semplice di quello che credo, spesso credo di convincermi che sia più semplice di quello che credo, però poi capita che ho a che fare con funzioni non rappresentabili, e allora tutti gli intorni che mi disegno in genere per cercare di chiarirmi le idee non servono più (funzioni seno e coseno, funzioni di Dirichlet, etc.). Ce l'avete avuta anche voi questa paura? Come avete risolto?
Quello che chiedo è: esistono dei programmi virtuali, o dei libri, o qualsiasi altra fonte capace di farmi esercitare con delle funzioni di cui trovare il limite "ad occhio", senza ricorrere alle proprietà che ci consentono di solito di fare gli esercizi? Avevo pensato a qualche generatore di funzioni su Internet, qualcosa che generasse grafici (mi pare di ricordare che una cosa del genere c'era in rete), in modo da cimentarmi prima di entrare più nel vivo.
Quello che chiedo è: esistono dei programmi virtuali, o dei libri, o qualsiasi altra fonte capace di farmi esercitare con delle funzioni di cui trovare il limite "ad occhio", senza ricorrere alle proprietà che ci consentono di solito di fare gli esercizi? Avevo pensato a qualche generatore di funzioni su Internet, qualcosa che generasse grafici (mi pare di ricordare che una cosa del genere c'era in rete), in modo da cimentarmi prima di entrare più nel vivo.
Risposte
Ti dico la mia esperienza: a tutti i limiti all'inizio fanno un po' paura, come ogni altro aspetto <> della matematica. Si risolve semplicemente facendo esercizi, tanti tanti esercizi. Io ho superato questo scoglio al %à anno del liceo: passai le vacanze di natale a fare limiti e credo di aver riempito un quaderno intero. Allora usai il Demidovich come libro e te lo consiglio se riesci a trovarlo in commercio o in biblioteca. Tuttavia ti consiglio di non fidarti mai, anche dopo aver acquisito esperienza, dell'occhio nei limiti. Ce ne sono alcuni, bastardi e maledetti, sempre pronti a fregarti.
Beh, tornando ai tempi del liceo, anche io ho fatto molti esercizi, ma usando le proprietà che ti permettono di imparare a risolverli senza nemmeno capirli bene. Avevo delle difficoltà, però , ogni qualvolta ce n'era uno più particolare. A me fa più paura l'aspetto teorico, non so perchè, forse molti rideranno, ma ti ripeto, sembra qualcosa di "aleatorio", di "non definibile" per la mente umana.
Ti dico la mia esperienza: in seconda ci hanno parlato delle sezioni di Dedekind, e lì si usavano gli epsilon piccoli a piacere. Allora ho immaginato che queste cose sarebbero state usate anche per concetto di limite (che ci era stato accennato in Fisica), e uno che faceva il quarto mi ha confermato questa cosa. A me pare abbastanza naturale come definizione, e si che non sono un tipo molto sveglio.
Ma secondo voi devo partire dalla definizione di limite per cercare di "intuirne" il significato, oppure devo prima sforzarmi di intuire l'"essenza" del concetto per poi utilizzare la definizione per "formalizzare" una prima intuizione?
Cominciamo prima a chiarire questa cosa, dopodichè mi regolo di conseguenza.
Cominciamo prima a chiarire questa cosa, dopodichè mi regolo di conseguenza.
scusate ma parliamo di limiti di funzioni reali?
In questo caso io partirei dal capire bene che cos'è un intorno, poi passerei ad analizzare la definizione e sinceramente non ci vedo molto di complicato. Ad esempio il limite di f(x) per x che tende a c è l se quando x è in un intorno di c allora f(x) è in un intorno di l. Se poi si vogliono fare le cose per bene e si vogliono valutare tutti gli aspetti storico-filosofici che hanno portato alla formulazione di questi concetti io aprtirei dai problemi che hanno spito qualcuno a "inventarsi" i limiti e CREDO si tratti di qualcosa legato alla teoria gravitazionale di Newton.
Comunque il passaggio fondamentale non è tanto il limite in se quanto più il passaggio da un punto a un suo intorno; cioè la "realtà" che vogliamo rappresentare con i numeri è continua e quindi (credo che anche la densità di R sia entrata in gioco in questo contesto) non posso rappresentarla bene con dei numeri che per quanto densi sono pur sempre delle cose discrete separate l'una dall'altra; ecco quindi il concetto di limite ovvero il considerare cosa succede INTORNO a un punto e non proprio nel punto.
(almeno questa è la mia visione)
In questo caso io partirei dal capire bene che cos'è un intorno, poi passerei ad analizzare la definizione e sinceramente non ci vedo molto di complicato. Ad esempio il limite di f(x) per x che tende a c è l se quando x è in un intorno di c allora f(x) è in un intorno di l. Se poi si vogliono fare le cose per bene e si vogliono valutare tutti gli aspetti storico-filosofici che hanno portato alla formulazione di questi concetti io aprtirei dai problemi che hanno spito qualcuno a "inventarsi" i limiti e CREDO si tratti di qualcosa legato alla teoria gravitazionale di Newton.
Comunque il passaggio fondamentale non è tanto il limite in se quanto più il passaggio da un punto a un suo intorno; cioè la "realtà" che vogliamo rappresentare con i numeri è continua e quindi (credo che anche la densità di R sia entrata in gioco in questo contesto) non posso rappresentarla bene con dei numeri che per quanto densi sono pur sempre delle cose discrete separate l'una dall'altra; ecco quindi il concetto di limite ovvero il considerare cosa succede INTORNO a un punto e non proprio nel punto.
(almeno questa è la mia visione)
scusate ma parliamo di limiti di funzioni reali?
In questo caso io partirei dal capire bene che cos'è un intorno, poi passerei ad analizzare la definizione e sinceramente non ci vedo molto di complicato. Ad esempio il limite di f(x) per x che tende a c è l se quando x è in un intorno di c allora f(x) è in un intorno di l. Se poi si vogliono fare le cose per bene e si vogliono valutare tutti gli aspetti storico-filosofici che hanno portato alla formulazione di questi concetti io aprtirei dai problemi che hanno spito qualcuno a "inventarsi" i limiti e CREDO si tratti di qualcosa legato alla teoria gravitazionale di Newton.
Comunque il passaggio fondamentale non è tanto il limite in se quanto più il passaggio da un punto a un suo intorno; cioè la "realtà" che vogliamo rappresentare con i numeri è continua e quindi (credo che anche la densità di R sia entrata in gioco in questo contesto) non posso rappresentarla bene con dei numeri che per quanto densi sono pur sempre delle cose discrete separate l'una dall'altra; ecco quindi il concetto di limite ovvero il considerare cosa succede INTORNO a un punto e non proprio nel punto.
(almeno questa è la mia visione)
Io aggiungo anche una cosa: per carattere sono una persona molto insicura, di conseguenza tendo sempre a essere insoddisfatto. Questo, nel caso specifico, si traduce nel fatto che quando studio una cosa, ho sempre l'impressione di non poterla capire mai; in più, tendo sempre a vedere dell'altro, quando magari dell'altro non c'è. Detto questo, provo a pensare agli intorni, anche se, quando questi sono finiti (e geometricamente rappresentabili come segmenti), magari mi è più semplice; ma quando vedo dei limiti di restrizioni per x che tende a più infinito, ad esempio, lì ci sono concetti chiaramente non rappresentabili, che la mente umana riesce con difficoltà a rappresentare. Ad esempio, riesco solo analiticamente, e studiando il teorema delle restrizioni, a capire che non esiste il limite del seno per x che tende a più infinito. Ma se dovessi "intuire" geometricamente il perché esso non esista, non riesco. Allora vedo dei limiti al mio studio, a quello che "devo sapere", a quello che "voglio sapere".
Ho aperto questo post anche per vedere come voi avete affrontato la cosa. Penso che questa per me sia la difficoltà più grande, il concetto di limite, inteso in senso lato, quindi anche nel senso di "intuizione" geometrica del comportamento dei vari grafici etc. etc. In questo senso esso è il concetto che finora, da quando ho cominciato l'asilo, mi ha fatto più "paura", e ha condizionato le mie scelte, i miei studi, etc. etc. Capire come voi avete fatto, in sostanza, potrebbe anche aprirmi un universo, oppure chiudermene un altro.
Beh, considera in ogni caso che non si finisce mai di imparare.
Mi spiego: studia la definizione di limite che t'è data ora, cerca di padroneggiarla; negli anni successivi questa sarà generalizzata e rivista da nuovi punti di vista..ogni volta ti troverai a rivedere e arricchire l'idea che t'eri fatta di limite.. insomma non avere fretta di capire tutto subito. Cerca di dare quel che puoi ora, e piano piano avrai sempre maggiore dimistichezza con i limiti.
Ti faccio un esempio.. pensavo di sapere tutto sui limiti...e poi ho scoperto i limiti inferiori e superiori!
Mi spiego: studia la definizione di limite che t'è data ora, cerca di padroneggiarla; negli anni successivi questa sarà generalizzata e rivista da nuovi punti di vista..ogni volta ti troverai a rivedere e arricchire l'idea che t'eri fatta di limite.. insomma non avere fretta di capire tutto subito. Cerca di dare quel che puoi ora, e piano piano avrai sempre maggiore dimistichezza con i limiti.
Ti faccio un esempio.. pensavo di sapere tutto sui limiti...e poi ho scoperto i limiti inferiori e superiori!
Beh, considera in ogni caso che non si finisce mai di imparare.
Questo è vero, ed è una delle cose che mi dà serenità.
Nel frattempo ho provato a riconsiderare la miriade di esercizi che facevo meccanicamente al liceo (non mi chiedete perché, non è stata un' esperienza bellissima) guardando i grafici delle funzioni elementari. Sto provando a tradurre in intorni quei meccanismi di verifica del limite di una funzione. Per il momento faccio questo, nell'attesa di progredire con il programma.
In ogni caso, man mano vedrò di postare i vari teoremi e le mie "interpretazioni", così da vedere se riesco piano piano ad approfondire il concetto intuitivo che ho di limite.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo