Passiamo alle serie (di funzioni),,,

[freddofede]

$\sum_(n=1)^(+infty)f_(n)(x)=(n!)/(xn)^(n)$

Che fa per $x=-1/e$?

E poi ci sarebbe questa

$\sum_(n=1)^(+infty)(nlog(1+x/n))/((x+n)^2)$

Vi torna convergenza totale per $x> -1$?

[freddofede]

Nota: non ve li posto per pigrizia; la maggior parte degli esercizi li faccio. In alcuni mi ci impallo, però.

[dissonance]

Per la prima, se sei arrivato a $-1/e$ vuol dire che hai già fatto il grosso del lavoro. In sostanza ti manca da stabilire il carattere della serie $sum(n!)/(n^n)$ che è una nota serie scassapalle perché resiste a parecchi criteri... Prova con quello di Raabe, se non mi sbaglio quello funziona.

[freddofede]

"dissonance":Per la prima, se sei arrivato a $-1/e$ vuol dire che hai già fatto il grosso del lavoro. In sostanza ti manca da stabilire il carattere della serie $sum(n!)/(n^n)$ che è una nota serie scassapalle perché resiste a parecchi criteri... Prova con quello di Raabe, se non mi sbaglio quello funziona.

E quel $-1/e$ va ignorato tout court nello stabilire il carattere? Sicuro?

P.S.: Raabe non si è fatto, indi non lo uso.

[dissonance]

"lore":
E quel $-1/e$ va ignorato tout court nello stabilire il carattere? Sicuro?

???
Ieri sera volevo dire questo: se a quella ($sum_{n=0}^infty(n!)/(xn)^n$) serie applichiamo il criterio della radice, mostriamo che per $x> -1/e$ (mi pare) la serie converge, e che per $x<-1/e$ non converge. Quindi resta solamente da capire cosa succede per $x=-1/e$, ovvero studiare la convergenza della serie numerica $sum_{n=0}^infty(n!)/(en)^n$.
Ieri sera però non ho pensato a usare un confronto asintotico: lasciando stare Raabe, mi pare che si riesca a concludere confrontando con la serie $sum1/(n^2)$. Infatti:
$((n!)/(e^n n^n))/(1/(n^2))=(n^2n!)/(e^n n^n)=(n^2)/(e^n)*(n!)/(n^n)\to0$.

[freddofede]

Il confronto asintotico è una di quelle cose che mi ero proprio dimenticato. Certo che er mitigo Marcellini non riportandolo aiuta .
Comunque, a proposito di mancanze di quel libro:

$\sum_{n}^{+infty}((n+1)^n)/(n!)x^(n)$

ti torna che il raggio di convergenza è $1/e$? (La sua soluzione direbbe 1, ma ho i miei dubbi...)

[dissonance]

1 non penso proprio che sia, infatti in 1 la serie non converge perché non è nemmeno infinitesimo il termine generale $((n+1)^n)/(n!)$. Poi però bisogna fare gli altri conti...se li hai fatti e li posti me li risparmieresti.

[freddofede]

Non importa che converga per 1, ma per $|x|<1$.

Comunque ho usato il teorema di d'Alembert:

$((n+2)^(n+1)n!)/((n+1)!(n+1)^(n))=((n+2)/(n+1))^(n+1)$

e l'ultimo termine mi converge ad $e$.

[dissonance]

"lore":Non importa che converga per 1, ma per $|x|<1$.

Certo, hai ragione, quel controllo dimostra semmai che il raggio di convergenza è $<=1$. Comunque sia i tuoi conti mi sembrano giusti.
Una cosa simpatica che stavo pensando: con questo stesso procedimento possiamo dare una generalizzazione del limite notevole $(n^n)/(n!)\to+infty$. Infatti possiamo dimostrare che, per ogni $p>e$, $n^n/(n!p^n)\to0$, visto che questo è il termine generale di una serie di potenze di raggio di convergenza $1/e$. Vabbé, solo una curiosità.

[freddofede]

Avrei studiato tanto bene sul Giusti ...

Comunque, ti volevo riproporre una domanda che si è persa nel topic; lei:

$\sum_(n=1)^(+infty)(nlog(1+x/n))/((x+n)^2)$

converge totalmente per $x> -1$, oppure solo puntualmente iniziando la convergenza totale per valori $>=0$?

[dissonance]

Mah, ho fatto tutto un po' in fretta, ma mi pare che non ci sia la convergenza totale. Limitandoci a $x>=0$ il termine generale è positivo, e facendo un po' di calculus si vede che ha il massimo assoluto in $n(e^(1/2)-1)$. Perciò il massimo assoluto (in $[0, infty)$) del termine generale è $1/(2en)$ che non è termine generale di una serie convergente. Ti tornano i conti?

[freddofede]

Provo a rimettermici appena ho tempo... diciamo se ...