Passare dalla serie di potenze alla circonferenza goniometrica
Ciao a tutti, mi piacerebbe capire se è possibile (e se sì come) far vedere che una funzione goniometrica (tipo \( \sin \), \( \cos \)), definita inizialmente in termini di serie di potenze, assume in realtà tutti i significati geometrici usuali in un'opportuna struttura di spazio euclideo.
Ad esempio, se io pongo per definizione
\[ \sin x := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \]
come faccio a far vedere che i valori assunti da tale funzione sono proprio le ordinate del generico punto posto sulla circonferenza goniometrica nel piano cartesiano?
Spero di essere stato chiaro.
Ad esempio, se io pongo per definizione
\[ \sin x := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \]
come faccio a far vedere che i valori assunti da tale funzione sono proprio le ordinate del generico punto posto sulla circonferenza goniometrica nel piano cartesiano?
Spero di essere stato chiaro.
Risposte
Si tratta di fare un po' di conti anche banali.
Dalla serie di potenze segue che \((\sin x)^\prime = \cos x\) e che \((\cos x)^\prime = -\sin x\); conseguentemente si ha:
\[
(\cos^2 x+\sin^2 x)^\prime = 2\cos x\ (-\sin x) + 2 \sin x\ \cos x=0
\]
e perciò la funzione \(f(x):=\cos^2 x+\sin^2 x\) è costante in \(\mathbb{R}\); dato che \(f(0)=1\), si ha:
\[
\cos^2 x+\sin^2 x=1
\]
il che significa che il punto del piano di coordinate \((\cos x,\sin x)\) ha uguale ad \(1\) la distanza dall'origine. Perciò l'insieme dei punti descritti da \((\cos x,\sin x)\) al variare di \(x\) è contenuto nella circonferenza unitaria.
D'altra parte, usando la relazione fondamentale e qualche trucco si fa vedere che l'immagine di \(\sin x\) e \(\cos x\) è tutto l'intervallo \([-1,1]\), sicché il punto \((\cos x,\sin x)\) descrive tutta la circonferenza unitaria.
Dalla serie di potenze segue che \((\sin x)^\prime = \cos x\) e che \((\cos x)^\prime = -\sin x\); conseguentemente si ha:
\[
(\cos^2 x+\sin^2 x)^\prime = 2\cos x\ (-\sin x) + 2 \sin x\ \cos x=0
\]
e perciò la funzione \(f(x):=\cos^2 x+\sin^2 x\) è costante in \(\mathbb{R}\); dato che \(f(0)=1\), si ha:
\[
\cos^2 x+\sin^2 x=1
\]
il che significa che il punto del piano di coordinate \((\cos x,\sin x)\) ha uguale ad \(1\) la distanza dall'origine. Perciò l'insieme dei punti descritti da \((\cos x,\sin x)\) al variare di \(x\) è contenuto nella circonferenza unitaria.
D'altra parte, usando la relazione fondamentale e qualche trucco si fa vedere che l'immagine di \(\sin x\) e \(\cos x\) è tutto l'intervallo \([-1,1]\), sicché il punto \((\cos x,\sin x)\) descrive tutta la circonferenza unitaria.
Perfetto, grazie 
Gugo sapresti dirmi perché questa serie di potenze si ripete ogni $2pi$,sfruttando solo le proprietà delle serie di potenze? 
(Son sempre stato curioso di vedere come lo dimostrano le persone brave in matematica )
(Son sempre stato curioso di vedere come lo dimostrano le persone brave in matematica
)
Dato che le serie di potenze sono assolutamente convergenti, esse sono anche incondizionatamente convergenti e tali proprietà passano ai loro prodotti secondo Cauchy.
Pertanto si ha:
\[
\begin{split}
\cos (x+y) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ (x+y)^{2n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}\ x^k\ y^{2n-k}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^n}{\cancel{(2n)!}}\ \frac{\cancel{(2n)!}}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0,2,\ldots ,2n} \frac{(-1)^n}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k} + \sum_{k=1,3,\ldots ,2n-1} \frac{(-1)^n}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k}\right) \\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^n}{(2h)!\ (2n-2h)!}\ x^{2h}\ y^{2n-2h} + \sum_{h=0}^{n-1} \frac{(-1)^n}{(2h+1)!\ (2n-2h-1)!}\ x^{2h+1}\ y^{2n-2h-1}\right) \\
&= \cos x\ \cos y - \sin x\ \sin y
\end{split}
\]
ed analogamente si calcola per stabilire la formula di sottrazione e le formule di addizione e sottrazione per il seno:
\[
\begin{split}
\cos (x-y) &= \cos x\ \cos y+\sin x\ \sin y\\
\sin (x\pm y) &= \cos x\ \sin y \pm \sin x\ \cos y\; .
\end{split}
\]
Fatto ciò, considera che \(\cos 0=1\) e \(\cos 2\leq -\frac{1}{3}\) (dallo sviluppo in serie troncato al terzo addendo), ergo esiste un numero \(x_0\in ]0,2[\) che è il più piccolo per il quale risulti \(\cos x_0=0\) (il fatto che l'insieme \(\{x\in [0,2]:\ \cos x=0\}\) sia dotato di minimo richiede una piccola dimostrazione, ma non è difficile).
Scegli di denotare con \(\pi\) il numero \(2x_0\): in tal modo hai \(\cos \frac{\pi}{2}=0\) e, dalla relazione fondamentale \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), segue che \(\sin^2 \frac{\pi}{2}=1\); ma si ha \((\sin x)^\prime = \cos x >0\) per \(x\in [0,\pi/2]\) e \(\sin 0=0\), dunque \(\sin \frac{\pi}{2}=1\).
Dalle formule di addizione segue allora:
\[
\begin{split}
\sin \pi &= 2\ \cos \frac{\pi}{2}\ \sin \frac{\pi}{2} =0\\
\sin 2\pi &=0\; .
\end{split}
\]
A questo punto hai finito: infatti, dalla formula di addizione segue che \(\sin k\pi=0\) per ogni \(k\in \mathbb{Z}\) e che:
\[
\begin{split}
\cos (x+2k\pi) &= \cos x\\
\sin (x+2k\pi) &= \sin x
\end{split}
\]
per ogni \(x\in \mathbb{R}\) e \(k\in \mathbb{Z}\).
Pertanto si ha:
\[
\begin{split}
\cos (x+y) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ (x+y)^{2n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}\ x^k\ y^{2n-k}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^n}{\cancel{(2n)!}}\ \frac{\cancel{(2n)!}}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0,2,\ldots ,2n} \frac{(-1)^n}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k} + \sum_{k=1,3,\ldots ,2n-1} \frac{(-1)^n}{k!\ (2n-k)!}\ x^k\ y^{2n-k}\right) \\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^n}{(2h)!\ (2n-2h)!}\ x^{2h}\ y^{2n-2h} + \sum_{h=0}^{n-1} \frac{(-1)^n}{(2h+1)!\ (2n-2h-1)!}\ x^{2h+1}\ y^{2n-2h-1}\right) \\
&= \cos x\ \cos y - \sin x\ \sin y
\end{split}
\]
ed analogamente si calcola per stabilire la formula di sottrazione e le formule di addizione e sottrazione per il seno:
\[
\begin{split}
\cos (x-y) &= \cos x\ \cos y+\sin x\ \sin y\\
\sin (x\pm y) &= \cos x\ \sin y \pm \sin x\ \cos y\; .
\end{split}
\]
Fatto ciò, considera che \(\cos 0=1\) e \(\cos 2\leq -\frac{1}{3}\) (dallo sviluppo in serie troncato al terzo addendo), ergo esiste un numero \(x_0\in ]0,2[\) che è il più piccolo per il quale risulti \(\cos x_0=0\) (il fatto che l'insieme \(\{x\in [0,2]:\ \cos x=0\}\) sia dotato di minimo richiede una piccola dimostrazione, ma non è difficile).
Scegli di denotare con \(\pi\) il numero \(2x_0\): in tal modo hai \(\cos \frac{\pi}{2}=0\) e, dalla relazione fondamentale \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), segue che \(\sin^2 \frac{\pi}{2}=1\); ma si ha \((\sin x)^\prime = \cos x >0\) per \(x\in [0,\pi/2]\) e \(\sin 0=0\), dunque \(\sin \frac{\pi}{2}=1\).
Dalle formule di addizione segue allora:
\[
\begin{split}
\sin \pi &= 2\ \cos \frac{\pi}{2}\ \sin \frac{\pi}{2} =0\\
\sin 2\pi &=0\; .
\end{split}
\]
A questo punto hai finito: infatti, dalla formula di addizione segue che \(\sin k\pi=0\) per ogni \(k\in \mathbb{Z}\) e che:
\[
\begin{split}
\cos (x+2k\pi) &= \cos x\\
\sin (x+2k\pi) &= \sin x
\end{split}
\]
per ogni \(x\in \mathbb{R}\) e \(k\in \mathbb{Z}\).
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