Passaggio su dimostrazione di un teorema sulle funzioni assolutamente continue
Salve a tutti non ho capito bene un passaggio che su un libro non è molto chiaro.
Riporto qui il teorema
Sia $x_k (t)$ una successione di funzioni assolutamente continue, con $t \in [a,b]$, tale che $x_k (t)$ converge a $ x(t)$ quando $k$ tende a infinito.
Supponiamo che per ogni $k$, $\dot{x}_k (t) \in M$ per quasi ogni $t \in [a,b]$, con $M$ chiuso e limitato. Allora $x(t)$ è assolutamente continua e $\dot{x} (t) \in co(M)$ nei punti in cui esiste $\dot{x} (t)$, cioè quasi ovunque in $[a,b]$.
Dimostrazione.
Per ipotesi $\dot{x}_k (t) \in M$, con $M$ chiuso e limitato. Allora $\exists L: \ | \dot{x}_k (t) | \leq L, \ \ \forall t\in [a,b]$ .
Dunque prendendo $t', t'' \in [a,b] $, poiché $x_k (t)$ è una successione di funzioni assolutamente continue per ipotesi, si ha che utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale
$$|x_k (t'') -x_k (t') | = \left| \int_{t'}^{t''} {\dot x_k (t) dt} \right| \leq \int_{t'}^{t''} {\left| \dot x_k (t) \right| dt} \leq L |t'' - t' |. $$
A seguire c'è una conclusione che da il libro ma che non riesco a motivare:.
Passando al limite per $k \to \infty$ concludiamo che la funzione $x(t)$ soddisfa la stessa disuguaglianza e dunque è assolutamente continua.
Potete motivarmi questa conclusione? Cioè passando al limite come deduco che $x(t)$ è assolutamente continua? E poi passando al limite presuppongo he $\dot{x}_k (t)$ convergono e non cel'ho come ipotesi
Riporto qui il teorema
Sia $x_k (t)$ una successione di funzioni assolutamente continue, con $t \in [a,b]$, tale che $x_k (t)$ converge a $ x(t)$ quando $k$ tende a infinito.
Supponiamo che per ogni $k$, $\dot{x}_k (t) \in M$ per quasi ogni $t \in [a,b]$, con $M$ chiuso e limitato. Allora $x(t)$ è assolutamente continua e $\dot{x} (t) \in co(M)$ nei punti in cui esiste $\dot{x} (t)$, cioè quasi ovunque in $[a,b]$.
Dimostrazione.
Per ipotesi $\dot{x}_k (t) \in M$, con $M$ chiuso e limitato. Allora $\exists L: \ | \dot{x}_k (t) | \leq L, \ \ \forall t\in [a,b]$ .
Dunque prendendo $t', t'' \in [a,b] $, poiché $x_k (t)$ è una successione di funzioni assolutamente continue per ipotesi, si ha che utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale
$$|x_k (t'') -x_k (t') | = \left| \int_{t'}^{t''} {\dot x_k (t) dt} \right| \leq \int_{t'}^{t''} {\left| \dot x_k (t) \right| dt} \leq L |t'' - t' |. $$
A seguire c'è una conclusione che da il libro ma che non riesco a motivare:.
Passando al limite per $k \to \infty$ concludiamo che la funzione $x(t)$ soddisfa la stessa disuguaglianza e dunque è assolutamente continua.
Potete motivarmi questa conclusione? Cioè passando al limite come deduco che $x(t)$ è assolutamente continua? E poi passando al limite presuppongo he $\dot{x}_k (t)$ convergono e non cel'ho come ipotesi
Risposte
Se non prendo cantonate...
Fissato $\epsilon > 0$, deve essere possibile determinare $\delta > 0 $ tale che $\forall n \in \NN$ e $\forall ]t_1 , s_1[ , ... , ]t_n , s_n[$ a 2 a 2 disgiunti si abbia
\[ \sum (s_i - t_i ) < \delta \;\; \Rightarrow \;\; \sum_{i=1}^n |x (t_{i}) -x (s_{i}) | < \epsilon \;.\]
Quindi, essendo che $|x (t_{i}) -x (s_{i}) | \le L (s_i - t_i)$, $\forall t_i < s_i$ (e questo si ottiene passando al limite nella disuguaglianza che discende dal teorema fondamentale),
\[ \sum_{i=1}^n |x (t_{i}) -x (s_{i}) | \le L \sum (s_i - t_i) < \epsilon \]
da cui basta scegliere $\delta = \frac{\epsilon}{L}$.
Fissato $\epsilon > 0$, deve essere possibile determinare $\delta > 0 $ tale che $\forall n \in \NN$ e $\forall ]t_1 , s_1[ , ... , ]t_n , s_n[$ a 2 a 2 disgiunti si abbia
\[ \sum (s_i - t_i ) < \delta \;\; \Rightarrow \;\; \sum_{i=1}^n |x (t_{i}) -x (s_{i}) | < \epsilon \;.\]
Quindi, essendo che $|x (t_{i}) -x (s_{i}) | \le L (s_i - t_i)$, $\forall t_i < s_i$ (e questo si ottiene passando al limite nella disuguaglianza che discende dal teorema fondamentale),
\[ \sum_{i=1}^n |x (t_{i}) -x (s_{i}) | \le L \sum (s_i - t_i) < \epsilon \]
da cui basta scegliere $\delta = \frac{\epsilon}{L}$.
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