Passaggio nel calcolo di D(arcChx)

[jitter1]

Voglio calcolare la derivata di y = arcCh x.

x = Ch y = $(e^y + e^(-y))/2$. Risolvendo l'equazione di secondo grado nell'incognita $e^y$ ottengo $e^y = x +- sqrt(x^2 - 1)$. Siccome $x >= 1$, accetterei entrambe le soluzioni. MA:

D(arcCh x) = $1/(D(Ch y)) = 1/(Sh) = 1/(e^y - Ch y) = 1/(x +- sqrt(x^2 - 1) - x) = +-1/(+- sqrt(x^2 - 1))$.

Ma la soluzione negativa non dovrebbe esserci perché la funzione è crescente. Volevo sapere: in base a quale considerazione devo eliminare quel meno lassù dove ho calcolato $e^y = x+- ...$?

[Palliit]

Ciao. Una questione di notazione, forse è un arcaismo che non so se sia ancora in uso generale ma spesso si indicano le funzioni inverse delle iperboliche col prefisso $"sett"$ (si legge "settor"), ad esempio $"sett"cosh$ è il settorcoseno iperbolico. Chiamiamola $cosh^(-1)$ così non facciamo confusioni.

Il $cosh$ non è invertibile in tutto il dominio: per convenzione l'inversa si ottiene restringendo il dominio ai positivi (come per invertire il coseno circolare si restringe il dominio all'intervallo $[0,\pi]$), e allora l'inversa si definisce essere quella col segno $+$ davanti alla radice, cioè: $cosh^(-1) x=\ln(x+sqrt(x^2-1))$.

[jitter1]

Ok. Quindi, è come se per invertire la funzione $y = x^2$ scegliessi solo il ramo positivo... Grazie Palliit!

[Palliit]

Esatto. Prego, ciao!