Passaggio matematico esercizio

[fede161]

Ciao ragazzi! Sto cercando di risolvere questo esercizio. Mi dice:

Mostrare che in uno spazio pre-hilbertiano vale:

$ ||x-y||=||x-z||+||z-y|| $

se e solo se $ z= alphax+(1-alpha)y $ con $ alpha in[0,1] $

Nella risoluzione dell'esercizio, il libro mi riporta questa soluzione qui:

$ ||x-z+z-y|| = ||x-z||+||z-y|| $

$ ||x-z+z-y||^2 = ||x-z||^2+||z-y||^2 + 2 ||x-z||||z-y|| $

$ = ||x-z||^2+||z-y||^2 + 2 ||x-z||||z-y|| $

$ Re = ||x-z|| ||z-y|| $

Ecco, quello che mi chiedo è: come spunta fuori quella parte reale?

Vi ringrazio per la risposta

[5mrkv]

A destra hai una quantità reale quindi
\[
\begin{split}
\langle x-z,z-y \rangle &= ||x-z||||z-y|| \\
\mbox{Re}\langle x-z,z-y \rangle &= ||x-z||||z-y||
\end{split}
\]
è la stessa cosa. Se non hai capito come ottenerla, basta che sviluppi il prodotto scalare nella tua penultima formula e poi semplifichi.