Passaggio matematico dubbio (derivata)
Buonasera a tutti,
Stavo cercando di capire una dimostrazione di elettrotecnica dove mi trovo questa situazione:
(Nomenclatura giusto per farvi capire meglio)
- L1 ed L2 Coefficiente di Autoinduttanza condensatori
- i1 e i2 corrente circuito
- M Coefficiente di Mutua Induttanza
$ L_1 (di_1)/(dt) i_1 + M (di_2)/(dt) i_1 + M (di_1)/(dt) i_2 + L_2 (di_2)/(dt) i_2 $
E fin qui ci siamo. E' il passaggio successivo, dove non capisco cosa è successo.
$ d/(dt)*(1/2L_1i_1^2) + d/(dt)*(1/2L_2i_2^2) + d/(dt)*(M i_1 i_2)$
E' stato portato tutto dentro il segno di derivata ?
Come e con che criterio?
Grazie a chi avrà la pazienza di rispondermi in Matematichese maccheronicissimo. <3
Stavo cercando di capire una dimostrazione di elettrotecnica dove mi trovo questa situazione:
(Nomenclatura giusto per farvi capire meglio)
- L1 ed L2 Coefficiente di Autoinduttanza condensatori
- i1 e i2 corrente circuito
- M Coefficiente di Mutua Induttanza
$ L_1 (di_1)/(dt) i_1 + M (di_2)/(dt) i_1 + M (di_1)/(dt) i_2 + L_2 (di_2)/(dt) i_2 $
E fin qui ci siamo. E' il passaggio successivo, dove non capisco cosa è successo.
$ d/(dt)*(1/2L_1i_1^2) + d/(dt)*(1/2L_2i_2^2) + d/(dt)*(M i_1 i_2)$
E' stato portato tutto dentro il segno di derivata ?
Come e con che criterio?
Grazie a chi avrà la pazienza di rispondermi in Matematichese maccheronicissimo. <3
Risposte
Ciao! Ricorda le regole di derivazione della funzione composta e del prodotto, notando che $i_1$ e $i_2$ sono funzioni di $t$. Ricorda poi che una costante può essere portata fuori/dentro il segno di derivata.
E' proprio questo il punto che non riesco a capire !
Per le costanti che possono essere portate dentro e fuori il segno di derivata ci sono.
Ho capito che i due addendi centrali del primo passaggio sono "i risultati di una derivata del prodotto" espressa all'ultimo addendo del secondo passaggio, ma non riesco a capire come abbia considerato invece la funzione interna ed esterna degli altri due addendi.
Per le costanti che possono essere portate dentro e fuori il segno di derivata ci sono.
Ho capito che i due addendi centrali del primo passaggio sono "i risultati di una derivata del prodotto" espressa all'ultimo addendo del secondo passaggio, ma non riesco a capire come abbia considerato invece la funzione interna ed esterna degli altri due addendi.
Hai che $i_1^2(t)$ è la composizione tra la funzione quadrato $x^2$ e la funzione $i_1(t)$. Quindi, per la regola di derivazione della funzione composta $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$, è:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} i_1^2(t) =2i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t} \implies \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\frac{1}{2}L_1 i_1^2(t)\right]=L_1 i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t}$$
Avendo assunto $L_1$ costante rispetto a $t$, come immagino sia.
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} i_1^2(t) =2i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t} \implies \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\frac{1}{2}L_1 i_1^2(t)\right]=L_1 i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t}$$
Avendo assunto $L_1$ costante rispetto a $t$, come immagino sia.
"Mephlip":
Hai che $i_1^2(t)$ è la composizione tra la funzione quadrato $x^2$ e la funzione $i_1(t)$. Quindi, per la regola di derivazione della funzione composta $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$, è:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} i_1^2(t) =2i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t} \implies \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\frac{1}{2}L_1 i_1^2(t)\right]=L_1 i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t}$$
Avendo assunto $L_1$ costante rispetto a $t$, come immagino sia.
Credo di aver capito.
Quindi sia $L_1$ che è una costante sia $1/2$ li porto fuori prima di derivare $i_1^2(t)$ così che il 2 si semplifica con $1/2$ e trovo appunto $$L_1 i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t}$$
Giusto?
Mi chiedevo come mai $L_1$ e $1/2$ sono libero di portarli dentro e fuori a piacimento, essendo 0 la derivata di una costante.. Credevo influissero "modificando il risultato"
"Pemberton!":
Quindi sia $L_1$ che è una costante sia $1/2$ li porto fuori prima di derivare $i_1^2(t)$ così che il 2 si semplifica con $1/2$ e trovo appunto $$L_1 i_1(t) \cdot \frac{\text{d}i_1(t)}{\text{d}t}$$
Giusto?
Sì, puoi vederla anche così se parti dall'uguaglianza che non ti era chiara e vuoi ottenere la prima. Io ho semplicemente prima calcolato la derivata della composizione e poi moltiplicato ambo i membri per $L_1/2$, è equivalente.
"Pemberton!":
Mi chiedevo come mai $L_1$ e $1/2$ sono libero di portarli dentro e fuori a piacimento, essendo 0 la derivata di una costante.. Credevo influissero "modificando il risultato"
La derivata di una funzione costante è $0$, la derivata di una funzione moltiplicata per una costante è la costante moltiplicata per la derivata della funzione. Si dimostra subito con la definizione:
$$[cf(x)]'=\lim_{h \to 0} \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{c[f(x+h)-f(x)]}{h}=c\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=cf'(x)$$
Certo, ora andrebbe dimostrato che in opportune ipotesi il limite di una costante moltiplicata per una funzione è la costante moltiplicata il limite della funzione; ma ti fidi di me, vero?
Ahahhahahah si assolutamente, mi fido ciecamente! Anzi ti ringrazio moltissimo per la pazienza Mephlip. Grazie ancora e buona serata !!
E' la regola di derivazione di un prodotto:
\(\displaystyle \frac{d}{dt} ( i_1 i_2 ) = \frac{d i_1}{dt} i_2 + \frac{d i_2}{dt} i_1 \)
\(\displaystyle \frac{d}{dt} ( i_1 i_2 ) = \frac{d i_1}{dt} i_2 + \frac{d i_2}{dt} i_1 \)
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