Passaggio matematico

[fede161]

Ciao ragazzi !!

Sto studiando dei concetti fondamentali di teoria delle probabilità, in modo particolare le funzioni di varibili random.
Dati i seguenti "dati" non riesco a capire un passaggio matematico.

x = variabile random continua
a(x) = funzione continua della variabile x
g(a) = densità di probabilità.

definita $ g(a')da'=int_(dS)f(x)dx $

mi dice che se la funzione $ a(x) $ può essere inverita per ottenere $ x(a) $ l'equazione scritta sopra da il seguente risultato:

$ g(a)da = |int_(x(a))^(x(a+da))f(x')dx'| = int_(x(a))^(x(a)+|dx/(da)|da )f(x')dx' $

Non riesco a capire il secondo passaggio con il valore assoluto... che operazione fa?

Grazie mille in anticipo per la risposta.

[gabriella127]

Provo a spiegare il passaggio per come l'ho capito, vediamo se sei d'accordo o qualcun altro può confermare o disconfermare.

Per quanto riguarda il secondo estremo di integrazione ha sostituito all'incremento di $x(a)$ il differenziale, cioè:

$x(a+da) - x(a)= Delta x $

$x(a+da)= x(a)+Deltax ~= x(a)+(dx)/(da) da$.

Per quanto riguarda il valore assoluto, secondo me il passaggio dipende dal fatto che un integrale ha segno positivo o negativo a seconda che il primo estremo di integrazione sia minore del secondo o viceversa. Nel nostro caso quindi se $x(a) < x(a+da)= x(a) +(dx)/(da)da$ o viceversa.

Ma $x(a)x(a+da)$.

Quindi se $(dx)/(da)$ è positiva, l'integrale ha segno più, se è negativa ha segno meno. Ma siccome prendiamo il valore assoluto dell'integrale, è come prendere il valore assoluto della derivata $(dx)/(da)$ nel secondo estremo di integrazione.
Perciò compare$|(dx)/(da)|$.

Spero di essermi fatta capire, il concetto è semplice, ma lo trovo contorto da dire a parole.