Passaggio libro - identità trigonometriche

[ELWOOD1]

Non capisco questo passaggio nel semplificare una funzione parametrica:

$g(t)=4(\cos t)^2+5(\sen t)^2-\sent\cost$

la semplifica come

$g(t)=9/2-(\cos2t)/2-(\sin2t)/2$

io capisco solo l'ultima che $\sint\cost=2\sin2t$ ma le altre non capisco proprio da dove sbucano

[oronte83]

Applica le formule di bisezione e ti viene subito

[oronte83]

"ELWOOD":
io capisco solo l'ultima che $\sint\cost=2\sin2t$ ma le altre non capisco proprio da dove sbucano

Occhio a questo pezzo:

$sentcost=(sen2t)/2$

[ELWOOD1]

"oronte83":[quote="ELWOOD"]
io capisco solo l'ultima che $\sint\cost=2\sin2t$ ma le altre non capisco proprio da dove sbucano

Occhio a questo pezzo:

$sentcost=(sen2t)/2$[/quote]

caro oronte....fino a qua ci sono, ma non capisco come posso mettere in correlazione $4(\cost)^2+5(\sint)^2$ con le formule di bisezione in cui non compaiono quadrati....

[Sk_Anonymous]

$g(t)=4(sin^2t+cos^2t)+sin^2t-sintcost=4*1+(1-cos2t)/2-(2sintcost)/2=4+1/2-(cos2t)/2-(sin2t)/2=9/2-(cos2t)/2-(sin2t)/2$

[oronte83]

"ELWOOD":
caro oronte....fino a qua ci sono, ma non capisco come posso mettere in correlazione $4(\cost)^2+5(\sint)^2$ con le formule di bisezione in cui non compaiono quadrati....

Hai avuto la risposta
Nelle formule di bisezione seno e coseno sono espressi come radici quadrate di certe frazioni. Tu qui vuoi seno e coseno al quadrato, quindi elevi al quadrato togliendo le radici. Io avevo risolto, alternativamente cosi:

$4cos^2t+5sin^2t-sintcost=4(1+cos2t)/2+5(1-cos2t)/2-(sin2t)/2=2+5/2+2cos2t-5/2cos2t-(sin2t)/2=(9-cos2t-sin2t)/2$

[fransis2]

$g(t)=4(\cos t)^2+5(\sen t)^2-\sent\cost=$$4(\cos t)^2+4(\sen t)^2+(\sent)^2-\sent\cost=$
$4((\cos t)^2+(\sen t)^2)+(\sent)^2-(\sent)(\cost)=$$4+(\sent)^2-(\sent)(\cost)$
(il passaggio $((\cos t)^2+(\sen t)^2)=1$ è vero per una formula nota)
per cui guardamdo all'inizio e alla fine delle uguaglianze otteniamo
$g(t)=4-(\sent)^2-\sent\cost$ (formula 1)
ma $(\cos2t)=(\cost)^2-(\sent)^2$ (formula parametrica) quindi $(\cos2t)=1-(\sent)^2-(\sent)^2$=$1-2(\sent)^2$
da cui ti ricavi (sent)^2, cioè $(\sent)^2=$1/2-((\cos2t)^2)/2$ (formula 2)
sostituendo la formula 2 nella formula 1 otteniamo proprio:
$g(t)=4+1/2-(\cos2t)/2-(\sin2t)/2=$$9/2-(\cos2t)/2-(\sin2t)/2$
che è la tesi in cui l'ultimo passaggio è quello che hai capito tu
spero che si atutto chiaro
ciao

[ELWOOD1]

Grazie a tutti....fantastici!

[fransis2]

$g(t)=4(\cos t)^2+5(\sen t)^2-\sent\cost=$$4(\cos t)^2+4(\sen t)^2+(\sent)^2-\sent\cost=$
$4((\cos t)^2+(\sen t)^2)+(\sent)^2-(\sent)(\cost)=$$4+(\sent)^2-(\sent)(\cost)$
(il passaggio $((\cos t)^2+(\sen t)^2)=1$ è vero per una formula nota:formula1)
per cui guardamdo all'inizio e alla fine delle uguaglianze otteniamo
$g(t)=4+(\sent)^2-\sent\cost$ (formula 2)
ma ricordando che $(\cos2t)=(\cost)^2-(\sent)^2$ (formula parametrica) e ricavando dalla formula 1 $(\cost)^2=1-(\sent)^2$ e sotituendo nella formula parametrica otteniamo che $(\cos2t)=1-(\sent)^2-(\sent)^2$=$1-2(\sent)^2$
da cui ti ricavi (sent)^2, cioè $(\sent)^2=$$1/2-(\cos2t)/2$ (formula 3)
sostituendo (sent)^2 dalla formula 3 nella formula 2 otteniamo proprio:
$g(t)=4+1/2-(\cos2t)/2-\sin2t\cost=$$9/2-(\cos2t)/2-(\sin2t)/2$
che è la tesi in cui l'ultimo passaggio è quello che hai capito tu
spero che sia tutto chiaro
ciao