Passaggio INDUZIONE Binomio di Newton

[Armstrong]

Salve a tutti
Dato che non ho molta dimestichezza con le sommatorie non riesco proprio a capire un passo della dimostrazione del binomio di Newton per induzione..
Ho già visionato le altre dimostrazioni presenti in questo sito,ma purtroppo non riesco a capire un passaggio.

Si consideri
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^ (n) ( (n), (k) )*a^k*b^(n-k) $
Ho già verificato il passo base ovvero la formula è verificata per n=1.
Adesso la tesi è che
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^ (n) ( (n), (k) )*a^k*b^(n-k) $
è valida per n=1 e l'ipotesi è che deve valere per n=n+1
$(a+b)^(n+1)=\sum_{k=0}^ (n+1) ( (n+1), (k) )*a^k*b^(n+1-k)$

Dato che
$(a+b)^(n+1) = (a+b)^n*(a+b)$
Sostituisco
$(a+b)^n $con la tesi.
$ (a+b)*\sum_{k=0}^ (n) ( (n), (k) )*a^k*b^(n-k) $
Porto dentro le costanti separo le sommatorie

$\sum_{k=0}^ (n) ( (n), (k) )*a^(k+1)*b^(n-k) + \sum_{k=0}^ (n) ( (n), (k) )*a^(k)*b^(n+1-k) $


E da ora in poi non ho più capito poichè si cambiano gli indici e non capisco le proprietà utilizzate.

[Studente Anonimo]

"Achaikos":
Adesso la tesi è che ...

Veramente:

Ipotesi: $[(a+b)^n=\sum_{k=0}^(n)((n),(k) )a^kb^(n-k)]$

Tesi: $[(a+b)^(n+1)=\sum_{k=0}^(n+1)((n+1),(k) )a^kb^(n+1-k)]$

Meglio se dai un'occhiata alla seguente dimostrazione:





ricordando che $((n),(k))+((n),(k-1))=((n+1),(k))$ e specificando i passaggi che non ti sono chiari.

[Armstrong]

@anonymous_0b37e9
Meglio se dai un'occhiata alla seguente dimostrazione:




Grazie per la risposta ..non capisco ad esempio non appena si pone $ k+1=h $ quindi $k=h-1$
perchè l'indice da $k=0$ diventa $k=1$ e da $n$ a $n+1$
E tralasciando questo anche cosa si intende con variabile muta?
Successivamente metterò le foto del mio professore perchè lo risolve in modo differente

[Raptorista1]

Una variabile è muta quando non ha significato di per sé, ma è solo un segnaposto. Alternativamente, sostituendola con un altro simbolo il significato non cambia. Esempi:
\[
\sum_{i=1}^{10} 3i = \sum_{k=1}^{10} 3k
\]
\[
\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt
\]

Nel tuo caso fa un cambio di variabile \(h = k+1\) ed aggiusta l'indice della sommatoria di conseguenza. Siccome l'indice è muto, successivamente lo rinomina \(k\) senza alterare il significato dell'espressione.

[Armstrong]

"Raptorista":Una variabile è muta quando non ha significato di per sé, ma è solo un segnaposto. Alternativamente, sostituendola con un altro simbolo il significato non cambia. Esempi:
\[
\sum_{i=1}^{10} 3i = \sum_{k=1}^{10} 3k
\]
\[
\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt
\]

Nel tuo caso fa un cambio di variabile \(h = k+1\) ed aggiusta l'indice della sommatoria di conseguenza. Siccome l'indice è muto, successivamente lo rinomina \(k\) senza alterare il significato dell'espressione.

Ora penso di aver capito
Mi "fregava " il fatto che prima imponeva una variabile h=k+1 e successivamente tornava a k senza rispettare l'uguaglianza precedente.