Passaggio in coordinate polari (integrali doppi)

[Giulya93]

Scusate se magari potrebbe sembrare sciocco, ma non capisco una cosa del seguente esercizio :
Sia $D= {(x,y)\inR^2 : 1\leqx^2+y^2\leq3 , 0\leqx\leqy} $. Calcolare $ int int_(D)ydx dy $
In coordinate polari D diventa $A={(rho, theta) \in [0;+oo) x [-pi;pi] : 1\leqpi\leq3^(1/2),pi/4\leqtheta\leqpi/2}$
A questo punto sul libro c'è scritto $ int int_(D) ydx dy = int_(1)^(3^(1/2)) int_(pi/4)^(pi/2) rho^2sintheta drhod theta $ ma perché $rho^2$ e non solo $rho$? Non dovrebbe essere $y=rhosintheta$? Grazie mille!

[Plepp]

Riguarda meglio la formula del cambiamento di variabile

[Brancaleone1]

La parola jacobiano aiuta?

In più una cosa: ma con quel dominio siamo sicuri che l'angolo vada da $pi/4$ a $pi/2$?

[Giulya93]

È vero, col cambiamento di variabile bisogna moltiplicare col determinante della matrice Jacobiana che in questo caso è $rho$, giusto?
Grazie mille a entrambi!

"Brancaleone":
In più una cosa: ma con quel dominio siamo sicuri che l'angolo vada da $ pi/4 $ a $ pi/2 $?

Sì, perché $ 0\leqx\leqy $ diventa $0\leqrhocostheta\leqrhosintheta$ e quindi, dividendo per $rho$ fa $0\leqcostheta\leqsintheta$. Dunque siamo nel primo quadrante e in particolare fra $pi/4$ e $pi/2$ poiché $sin\geqcos$

[Brancaleone1]

"Giulya93":
[quote="Brancaleone"]
In più una cosa: ma con quel dominio siamo sicuri che l'angolo vada da $ pi/4 $ a $ pi/2 $?

Sì, perché $ 0\leqx\leqy $ diventa $0\leqrhocostheta\leqrhosintheta$ e quindi, dividendo per $rho$ fa $0\leqcostheta\leqsintheta$. Dunque siamo nel primo quadrante e in particolare fra $pi/4$ e $pi/2$ poiché $sin\geqcos$[/quote]
Perdonami, avevo inteso $0<=y<=x$... Sorry!