Passaggio dubbio in dimostrazione

[Clipsony]

È possibile che data u(t) funzione continua ovunque tranne che in 0, allora la funzione t*u(t) sia continua in 0?

Nella dimostrazione teorema di fisica matematica il prof adotta questo passaggio, tuttavia sono un po’ scettico... ma non riuscendo nemmeno a trovare qualche controesempio, è probabile che è a me che sfugge qualcosa.

[gugo82]

In generale no, è falso.
Costruire un controesempio è banale: prendi $u(t) := \{(1/t^2, text(, se ) t != 0), (0, text(, altrimenti)) :}$.

Probabilmente ci sono altre ipotesi (e.g., $u$ è limitata ovunque).

[pilloeffe]

Ciao Clipsony,

Così ad occhio mi viene da dire che la funzione $u(t) $ sia la funzione gradino di Heaviside, mentre la funzione $t \cdot u(t) $ sia la funzione rampa che in effetti è continua in $t = 0 $

[Clipsony]

"gugo82":In generale no, è falso.
Costruire un controesempio è banale: prendi $u(t) := \{(1/t^2, text(, se ) t != 0), (0, text(, altrimenti)) :}$.

Probabilmente ci sono altre ipotesi (e.g., $u$ è limitata ovunque).

Grazie!
È probabile che la continuità derivi dalla seguente uguaglianza facendo tendere $ x_3 $ ad R? (Considerate anche le ipotesi del messaggio precedente)
$$ U(R+x_3)(R+x_3) = U(R-x_3)(-R+x_3) + c $$
Secondo te è giusto?

[Clipsony]

"pilloeffe":Ciao Clipsony,

Così ad occhio mi viene da dire che la funzione $u(t) $ sia la funzione gradino di Heaviside, mentre la funzione $t \cdot u(t) $ sia la funzione rampa che in effetti è continua in $t = 0 $

Grazie per l’osservazione, però la funzione U è generica con l’ ipotesi enunciata prima ed inoltre vige anche la seguente relazione
$$ U(R+x_3)(R+x_3) = U(R-x_3)(-R+x_3) + c $$
È probabile che la continuità derivi dalla seguente uguaglianza facendo tendere $ x_3 $ ad R?

[gugo82]

Così non si capisce niente.

Conviene che posti la dimostrazione.