Passaggio dim mancante (integrale complesso su linea)
C'è un passaggio della dimostrazione di un teorema che ora mi sfugge.
Senza che scrivo tutto il teorema, parto dall'intorno (logico e autoconclusivo) di tale passaggio.
Si tratta di stimare il modulo di questo integrale
$|\frac{1}{2\pi i} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|$, nel quale $0a>0$.
Allora,
$|\frac{1}{2\pi i} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|\le \frac{1}{2\pi} |\int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}| =$
$=(?)=$
$\le \frac{1}{2 \pi} \int_a^K \frac{x^\sigma d\sigma}{h}= \frac{1}{2\pi}| [\frac{x^\sigma}{h log(x)}]_a^K|=\frac{1}{2\pi}\frac{|x^K - x^a|}{h |log(x)|}$
Ho provato svariati cambi di variabile ma ho solo complicato la situazione (per es. $\sigma=s+it$, sparivano gli estremi immaginari ma l'integrale si complica invece di semplificarsi in quel modo).
Mi lascia perplesso il fatto che al denominatore sparisce l'incognita e al posto suo c'è il parametro complesso...
Senza che scrivo tutto il teorema, parto dall'intorno (logico e autoconclusivo) di tale passaggio.
Si tratta di stimare il modulo di questo integrale
$|\frac{1}{2\pi i} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|$, nel quale $0
Allora,
$|\frac{1}{2\pi i} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|\le \frac{1}{2\pi} |\int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}| =$
$=(?)=$
$\le \frac{1}{2 \pi} \int_a^K \frac{x^\sigma d\sigma}{h}= \frac{1}{2\pi}| [\frac{x^\sigma}{h log(x)}]_a^K|=\frac{1}{2\pi}\frac{|x^K - x^a|}{h |log(x)|}$
Ho provato svariati cambi di variabile ma ho solo complicato la situazione (per es. $\sigma=s+it$, sparivano gli estremi immaginari ma l'integrale si complica invece di semplificarsi in quel modo).
Mi lascia perplesso il fatto che al denominatore sparisce l'incognita e al posto suo c'è il parametro complesso...
Risposte
Devi applicare
http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_lemma
sulla linea \(\displaystyle a-ih \to K-ih \) per \(\displaystyle \frac{1}{s} \).
\(\displaystyle |\frac{1}{s}|\le \frac{1}{h} \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_lemma
sulla linea \(\displaystyle a-ih \to K-ih \) per \(\displaystyle \frac{1}{s} \).
\(\displaystyle |\frac{1}{s}|\le \frac{1}{h} \)
"wnvl":
Devi applicare
http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_lemma
sulla linea \(\displaystyle a-ih \to K-ih \) per \(\displaystyle \frac{1}{s} \).
\(\displaystyle |\frac{1}{s}|\le \frac{1}{h} \)
Grazie mille!
Adesso faccio una prova, poi - se riporta - modifico il titolo e metto un bel "risolto".
RI-Ri-EDIT.
Lascio i calcoli del post successivo (che sono decisamente più corretti di questi)
Ci ho riflettuto abbastanza e ho risolto (con "risolto" intendo "me lo faccio riportare") nel modo seguente.
$|\frac{1}{2\pi i}\int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|=\frac{1}{2\pi}|\int_(a-ih)^(K-ih)\frac{x^s ds}{s}|\le \frac{1}{2\pi} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{|x^s||ds|}{|s|}=$
Poi applico il suggerimento precedente, cioè la stima $|1/s|<1/h$ nell'integrale. Quindi
$ \frac{1}{2\pi} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{|x^s||ds|}{|s|}\le \frac{1}{2\pi h} \int_(a-ih)^(K-ih) |x^s||ds|= \frac{1}{2\pi h} \int_(a)^(K) |x^(t-ih)|dt=$
Ho risolto, era proprio un cambio di variabile $s+ih=t$.
L'unica cosa che mi sfugge è solo perché $|ds|=dt$... Sto pensando al fatto che la lunghezza d'arco su un segmento si trasforma nel consueto $dx$ dei reali o qualche delirio simile.
Il resto riporta (mi sto avvicinando alla soluzione).
$|\frac{1}{2\pi i}\int_(a-ih)^(K-ih) \frac{x^s ds}{s}|=\frac{1}{2\pi}|\int_(a-ih)^(K-ih)\frac{x^s ds}{s}|\le \frac{1}{2\pi} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{|x^s||ds|}{|s|}=$
Poi applico il suggerimento precedente, cioè la stima $|1/s|<1/h$ nell'integrale. Quindi
$ \frac{1}{2\pi} \int_(a-ih)^(K-ih) \frac{|x^s||ds|}{|s|}\le \frac{1}{2\pi h} \int_(a-ih)^(K-ih) |x^s||ds|= \frac{1}{2\pi h} \int_(a)^(K) |x^(t-ih)|dt=$
Ho risolto, era proprio un cambio di variabile $s+ih=t$.
L'unica cosa che mi sfugge è solo perché $|ds|=dt$... Sto pensando al fatto che la lunghezza d'arco su un segmento si trasforma nel consueto $dx$ dei reali o qualche delirio simile.
Il resto riporta (mi sto avvicinando alla soluzione).
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