Passaggio di derivata sotto il segno di serie

[squalllionheart]

1) Sia la funzione $g(x,y)=x^2+y^2$, sia $alpha$ una funzione da $RR$ in $RR$ di classe $C^(1)$ su $RR-{0}$ e tale che $0<=alpha(x)<=x^2$ definiamo $v_n(x)=(alpha(x))/g(x,n)$. Provare che per ogni $x$ la serie converge.
Su questo punto ho proceduto in questo modo ho usato il creterio del confronto su $v_n(x)$ usando $w_n(x)=x^2/(x^2+n^2)$ questa serie di funzioni converge e quindi converge anche $v_n(x)$ per far vedere che $w_n(x)$ convergeva ho usato il criterio di condensazione.
Che dite va bene?
2) Posto $v(x)=sum_1^(oo) v_n(x)$ provare che $v$ è derivabile in $RR-{0}$.
3) Si può sempre affermare che $alpha$ è sempre derivabile in $0$?

Su questi due punti non saprei come procedede dato che non ho mai fatto cose di questo tipo, immagino che esistano teoremi di passaggio di derivata sotto il sibolo di serie ma ne sul giusti ne sul marcellini ho trovato qualcosa che potesse aiutarmi...
Grazie in anticipo.

[ciampax]

Per la serie bastava anche vedere che, essendo [tex]$x^2\ge 0$[/tex] allora [tex]$x^2+n^2\ge n^2$[/tex] e quindi

[tex]$\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(x)}{x^2+n^2}\le\sum_{n=1}^\infty\frac{x^2}{n^2}$[/tex]

e quindi hai convergenza per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 2. Comunque il tuo ragionamento è corretto.

Per quanto riguarda la derivabilità, io userei la definizione e la proprietà di maggiorazione precedente per far vedere che il limite del rapporto incrementale risulta sempre limitato (e quindi le derivate non vanno mai a infinito).

[squalllionheart]

e come lo faresti concretamente?

[ciampax]

Mmmmmm.... no, mi sa che diventa complicatino. Ci penso su un attimo che ora sono cotto come una braciola ad una scampagnata di ferragosto!

[squalllionheart]

ok ahahha anche io sono abbastanza cotta, inizio ad importunarti domani mattina presto ahahhah

[gugo82]

Insomma, stiamo parlando della serie [tex]\sum \frac{\alpha (x)}{x^2+n^2}[/tex] od ho interpretato male?
Comunque, propongo un abbozzo di soluzione.

Cominciamo da [tex]$\alpha (x)$[/tex]. Evidentemente si ha [tex]$0\leq \alpha (0)\leq 0^2$[/tex], ergo [tex]$\alpha (0)=0$[/tex]; d'altra parte il rapporto incrementale in [tex]$0$[/tex] si controlla come segue:

[tex]$0\leq \left| \frac{\alpha(x)-\alpha (0)}{x-0}\right|=\left| \frac{\alpha (x)}{x}\right| \leq |x|$[/tex],

quindi [tex]$\alpha (x)$[/tex] è derivabile in [tex]$0$[/tex] e vi ha derivata nulla.
Ne viene che [tex]$\alpha (x)$[/tex] è continua in [tex]$0$[/tex] (perchè derivabile), quindi [tex]$\alpha \in C(\mathbb{R})$[/tex].

Per quanto riguarda la convergenza della serie, si può affermare che la serie converge totalmente su ogni compatto: infatti essa si riscrive:

[tex]$\alpha (x)\ \sum \frac{1}{x^2+n^2}$[/tex]

e la serie a secondo membro converge totalmente in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], mentre la [tex]$\alpha (x)$[/tex] è limitata sui compatti (essendo continua).
La serie delle derivate è data da:

[tex]\alpha^\prime (x)\ \sum \frac{1}{x^2+n^2} - \alpha(x)\ \sum \frac{2x}{(x^2+n^2)^2}\right)[/tex],

che converge uniformemente sui compatti non contenenti lo [tex]$0$[/tex]; quindi fuori da [tex]$0$[/tex] il passaggio della derivata sotto il segno di somma si giustifica con tecniche standard.