Passaggio derivate parziai

[dRic]

Stavo studiando quando mi sono imbattuto in questo passaggio che non ho proprio inteso:

Supponiamo che $\frac {\partial k}{\partial x}(x, y)$ esista non solo per $x = x_0$ ma per ogni $x$ in un certo intorno di $x_0$, del tipo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ (e per q.o. $y$). Allora applicando il teorema di Lagrange rispetto a $x$ possiamo scrivere
$$ \frac {k(x_0 + h_n, y) - k(x_0, y)}{h_n} = \frac {\partial k}{\partial x}(x_0 + \tau_h h_n, y)$$ con $|\tau_n| < 1$

A parte che penso ci sia un errore di battitura nel libro perché $\tau_h$ e $\tau_n$ non mi convincono, però, apparte questo dettaglio, qualcuno saprebbe dirmi cosa sta succedendo?

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Si sta applicando il teorema di Lagrange... Cosa non ti è chiaro?

[anto_zoolander]

Onestamente non convince nemmeno a me quella scelta dei pedici.

Penso di aver capito cosa intenda: definiamo per ogni $0RR$ come

$g(t)=k(x_0+t,y_0)$

tale funzione, per ipotesi, è derivabile in tutto l'intervallo $(0,s)$ e continua in $[0,s]$. Nota che la derivabilità viene dalla definizione stessa di derivabilità parziale. Essendo $g$ una funzione che rispetta le condizioni del teorema di lagrange esisterà un certo $c in (0,s)$ per cui

$(g(s)-g(0))/s=(dg)/(dt)(c)$

dalla derivabilità quindi segue che $g'(c)=(partialk)/(partialx)(x_0+c,y_0)$

ossia

$(k(x_0+s,y_0)-k(x_0,y_0))/s=(partialk)/(partialx)(x_0+c,y_0)$

se consideriamo che per come si è presi l'intervallo $c$ è non nullo allora $c=s*(c/s)$ e essendo $0
da cui si ottiene $(k(x_0+s,y_0)-k(x_0,y_0))/s=(partialk)/(partialx)(x_0+s tau,y_0), 0
penso non dica niente più di questo.

NB: $g(t+h)-g(t)=k( (x_0+t)+h )-k(x_0+t)$ per questo la derivata viene in quel modo.

@gugo
[ot]il problema è che molti testi danno per scontato che una persona ci metta tanto quanto un battito di ciglia a capire da solo determinati passaggi[/ot]

EDIT: ho corretto 'esisterà un certo $* in (0,s)$', avevo usato un'altra lettera.

[dRic]

Grazie mille @anto_zoolander per la "dimostrazione" precisa, comunque ero solo stanco e avevo preso un abbaglio... Stavo tornando sul formu per dire che avevo risolto quando mi sono trovato il tuo messaggio. Mi hai risparmiato un po' di fatica!! Grazie mille

[anto_zoolander]

Figurati
questo teorema di Lagrange è ovunque