Passaggio del limite sotto il segno di integrale:
Salve Forum, non riesco proprio a capire la dimostrazione data dal mio prof. Praticamente ho che $f_n$ sono successione di funzioni continue in$ [a,b]$. Se$ f_n$ converge ad $f$ uniformemente in$ [a,b]$ allora si ha:
$lim__n int_{a}^{b} f_n(x) dx$ =$ int_{a}^{b} f(x) dx$
Ora ho:
$| int_{a}^{b} f_n(x) dx -int_{a}^{b} f(x) dx|$ =$| int_{a}^{b}( f_n(x) -f(x)) dx| <= int_{a}^{b}|( f_n(x) -f(x))|<=$ $epsilon(b-a)$
I vari passaggi in cui applica proprietà dell'integrale e del valore assoluto li ho capiti, i miei dubbi sono i seguenti:
1) perchè non ho più $lim (f_n(x) -f(x))$ e solo$ (f_n(x) -f(x))$ ?
2) perchè dimostro che la differenza iniziale è minore di epsilon? non dovrei dimostrare che è uguale a 0?
$lim__n int_{a}^{b} f_n(x) dx$ =$ int_{a}^{b} f(x) dx$
Ora ho:
$| int_{a}^{b} f_n(x) dx -int_{a}^{b} f(x) dx|$ =$| int_{a}^{b}( f_n(x) -f(x)) dx| <= int_{a}^{b}|( f_n(x) -f(x))|<=$ $epsilon(b-a)$
I vari passaggi in cui applica proprietà dell'integrale e del valore assoluto li ho capiti, i miei dubbi sono i seguenti:
1) perchè non ho più $lim (f_n(x) -f(x))$ e solo$ (f_n(x) -f(x))$ ?
2) perchè dimostro che la differenza iniziale è minore di epsilon? non dovrei dimostrare che è uguale a 0?
Risposte
"Roslyn":
Salve Forum
Salve Roslyn, non ci si sente dai tempi delle funzioni in due variabili!
Ora ho:
$| int_{a}^{b} f_n(x) dx -int_{a}^{b} f(x) dx|$ =$| int_{a}^{b}( f_n(x) -f(x)) dx| <= int_{a}^{b}|( f_n(x) -f(x))|<=$ $epsilon(b-a)$
[...]
1) perchè non ho più $lim (f_n(x) -f(x))$ e solo$ (f_n(x) -f(x))$ ?
Sinceramente ricordo
$... <= int_{a}^{b}|( f_n(x) -f(x))|<= sup{f_n(x)-f(x)} (b-a)$
che comunque va bene perché nella convergenza uniforme implica che il sup tende a zero... no?
In alternativa
2) perchè dimostro che la differenza iniziale è minore di epsilon? non dovrei dimostrare che è uguale a 0?
Magari si suppone a prescindere la definizione di limite, cioè si fissa un $\bar(n)$ naturale tale che si ha $|f_n (x)-f(x)|<\varepsilon$ se $n>\bar(n)$.
Tu vuoi dimostrare che, sotto le condizioni che hai elencato, accade che[nota]Ossia, come era solita dire la mia prof. di Analisi 3, "che il segno di limite scavalca il segno d'integrale":
\[\lim_{n\to +\infty}\int^b_af_n(x)\,\text{d}x=\int^b_a f(x)\,\text{d}x=\int^b_a \lim_{n\to +\infty}f_n(x)\,\text{d}x\][/nota]
\[\lim_{n\to +\infty}\int^b_af_n(x)\,\text{d}x=\int^b_a f(x)\,\text{d}x\]
ovvero che la successione numerica di termine generale
\[a_n:=\int^b_af_n(x)\,\text{d}x\]
converge a
\[L:=\int^b_af(x)\,\text{d}x\in \mathbb{R}\]
Dunque vuoi dimostrare che[nota]Se ci pensi, questo equivale a dire che $|a_n-L|\to 0$.[/nota]
\[\forall \varepsilon>0,\ \exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n\ge \nu,\ |a_n-L|<\varepsilon \]
Ebbene, fissa un $\epsilon>0$ grande o piccolo quanto piace a te
Dal fatto che $f_n\to f$ uniformemente ottieni che
\[\exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n\ge \nu,\ \forall x \in [a,b],\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\]
Se $n\ge \nu$, dunque, vale la catena di disuguaglianze che hai scritto: in realtà tu hai mostrato che per $n\ge \nu$ si ha $|a_n-L|\le \epsilon(b-a)$, ma capisci bene che fa lo stesso.[nota]Puoi rifare la dimostrazione fissando $\epsilon>0$ arbitrario e utilizzando l'ipotesi di convergenza uniforme su $\epsilon':=\epsilon/(b-a)>0$ anziché su $\epsilon$.[/nota]
\[\lim_{n\to +\infty}\int^b_af_n(x)\,\text{d}x=\int^b_a f(x)\,\text{d}x=\int^b_a \lim_{n\to +\infty}f_n(x)\,\text{d}x\][/nota]
\[\lim_{n\to +\infty}\int^b_af_n(x)\,\text{d}x=\int^b_a f(x)\,\text{d}x\]
ovvero che la successione numerica di termine generale
\[a_n:=\int^b_af_n(x)\,\text{d}x\]
converge a
\[L:=\int^b_af(x)\,\text{d}x\in \mathbb{R}\]
Dunque vuoi dimostrare che[nota]Se ci pensi, questo equivale a dire che $|a_n-L|\to 0$.[/nota]
\[\forall \varepsilon>0,\ \exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n\ge \nu,\ |a_n-L|<\varepsilon \]
Ebbene, fissa un $\epsilon>0$ grande o piccolo quanto piace a te
Dal fatto che $f_n\to f$ uniformemente ottieni che\[\exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n\ge \nu,\ \forall x \in [a,b],\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\]
Se $n\ge \nu$, dunque, vale la catena di disuguaglianze che hai scritto: in realtà tu hai mostrato che per $n\ge \nu$ si ha $|a_n-L|\le \epsilon(b-a)$, ma capisci bene che fa lo stesso.[nota]Puoi rifare la dimostrazione fissando $\epsilon>0$ arbitrario e utilizzando l'ipotesi di convergenza uniforme su $\epsilon':=\epsilon/(b-a)>0$ anziché su $\epsilon$.[/nota]
Ringrazio entrambi, quindi in fin dei conti, il mio obiettivo è dimostrare che $lim__n int_{a}^{b} f_n(x) dx$ =$ int_{a}^{b} f(x) dx$ e ciò significa che devo dimostrare che il primo membro converge al secondo membro , applico la definizione di limite, sfrutto la definizione di convergenza uniforme e dimostro che la quantità è minore di epsilon, e ciò significa che il primo membro converge al secondo, e cioè che la loro differenza è pari a 0. Giusto cosi?
"Roslyn":
Ringrazio entrambi, quindi in fin dei conti, il mio obiettivo è dimostrare che $lim__n int_{a}^{b} f_n(x) dx$ =$ int_{a}^{b} f(x) dx$ e ciò significa che devo dimostrare che il primo membro converge al secondo membro
Non che il primo membro[nota]Che, per intenderci, non è $a_n$ bensì $\lim_{n\to \infty} a_n$.[/nota] converge al secondo, ma che sono uguali. In termini di convergenza, devi dimostrare che la $(a_n)_{n\ge 1}$ - definita come sopra - converge al secondo membro.
"Roslyn":
[...]il primo membro converge al secondo, e cioè che la loro differenza è pari a 0. Giusto cosi?
No. Non hai mostrato, come dici, che $(\lim_{n\to \infty} a_n)-L=0$ (sebbene questo segua banalmente da quel che hai realmente dimostrato). Hai semplicemente realizzato la definizione di limite di una successione, cioè: fissato un $\epsilon>0$ qualunque, si riesce a determinare un $\nu=\nu(\epsilon)\in NN$ a partire dal quale (cioè: per tutti gli $n\ge \nu$) la distanza tra i punti della successione e il suo limite è minore di quel $\epsilon$ (ovvero $|a_n-L|<\epsilon$).
Chiaro ora?
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