Passaggio da somma a integrale
Salve,
come potrei scrive sotto forma di integrale : $-1/n sum_{k=n+1}^n log(k/n) $ ??
come potrei scrive sotto forma di integrale : $-1/n sum_{k=n+1}^n log(k/n) $ ??
Risposte
Cosa intendi con "scrivere sotto forma di integrale"?
Intendi utilizzare il criterio del confronto integrale per studiarne la convergenza? Se sì ok, altrimenti non è possibile trasformare semplicemente una serie in un integrale.
Intendi utilizzare il criterio del confronto integrale per studiarne la convergenza? Se sì ok, altrimenti non è possibile trasformare semplicemente una serie in un integrale.
Vorrei fare la somma dell'integrale di Reiman del logaritmo 
Immagino la somma parta da \(k=1\).
Hai che
\[
-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(k/n)
\]
rappresenta le somme inferiori della funzione \(f(x) = -\log(x)\) relativa alla partizione \(\{0, 1/n, 2/n, \ldots, 1\}\).
L'unica cosa a cui devi stare attenta è che si tratta di una funzione illimitata in \((0,1]\), per cui hai un integrale generalizzato.
A parte questo dettaglio, è comunque vero che
\[
\lim_{n\to+\infty} -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(k/n) = -\int_0^1 \log(x) dx = 1.
\]
PS: l'integrale è di Riemann, non di Reiman.
Hai che
\[
-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(k/n)
\]
rappresenta le somme inferiori della funzione \(f(x) = -\log(x)\) relativa alla partizione \(\{0, 1/n, 2/n, \ldots, 1\}\).
L'unica cosa a cui devi stare attenta è che si tratta di una funzione illimitata in \((0,1]\), per cui hai un integrale generalizzato.
A parte questo dettaglio, è comunque vero che
\[
\lim_{n\to+\infty} -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(k/n) = -\int_0^1 \log(x) dx = 1.
\]
PS: l'integrale è di Riemann, non di Reiman.
Grazie per la risposta!! comunque avrei in realtà :
$ 1/n {log[(n)/(n+1)]+ log[(n)/(n+2)]+.....+ log[(n)/(n+n)] }$ e dovrei appunto fare la somma dell'integrale di Riemann del logaritmo..
$ 1/n {log[(n)/(n+1)]+ log[(n)/(n+2)]+.....+ log[(n)/(n+n)] }$ e dovrei appunto fare la somma dell'integrale di Riemann del logaritmo..
Allora hai
\[
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{n}{n+k}\right) =
-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \to
-\int_0^1 \log(1+x)\, dx = 1 - 2 \log 2.
\]
\[
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{n}{n+k}\right) =
-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \to
-\int_0^1 \log(1+x)\, dx = 1 - 2 \log 2.
\]
ma $- int_{0}^1 log(1+x) dx = -lim_{epsilon->0} int_{epsilon}^1 log(1+x)dx = int_{epsilon}^1 1*log(1+x) dx $ e svolgendo mi viene $ log2-(epsilon)log(1+epsilon)-(1-epsilon) $ è corretto?.. iL mio problema è che questo limite dovrebbe farmi nel complesso -1, perchè il mio intento iniziale era dimostrare che $lim_{n->infty} {n}/{[(n+1)!]^{1/n}} = 1/e$ e allora ho posto $ x_n = e^{log[(n)]/[(n+1)!^{1/n}] }$
ps sei sicuro che la formula di sommatoria come hai scritto sia corretta? e la mia iniziale sbagliata?
ps sei sicuro che la formula di sommatoria come hai scritto sia corretta? e la mia iniziale sbagliata?
No.
In questo caso non c'è bisogno di quel limite per \(\epsilon\to 0\), visto che la funzione è continua in \([0,1]\).
L'integrale si può calcolare per parti e viene, come ho già scritto, \(1-2\log 2\).
In questo caso non c'è bisogno di quel limite per \(\epsilon\to 0\), visto che la funzione è continua in \([0,1]\).
L'integrale si può calcolare per parti e viene, come ho già scritto, \(1-2\log 2\).
iL mio problema è che questo limite dovrebbe farmi nel complesso -1, perchè il mio intento iniziale era dimostrare che $lim_{n->infty} {n}/{[(n+1)!]^{1/n}} = 1/e$ e allora ho posto $ x_n = e^{log[(n)]/[(n+1)!^{1/n}] }$
ps sei sicuro che la formula di sommatoria come hai scritto sia corretta? e la mia iniziale sbagliata?
ps sei sicuro che la formula di sommatoria come hai scritto sia corretta? e la mia iniziale sbagliata?
Se volevi calcolare quel limite torna al mio primo post, che conteneva già la sommatoria corretta.
Però li nel tuo primo post $k$ la fai partire da $1$ e non da $n+1$ come ho scritto io.. e poi li il limite ti viene $1$ A me dovrebbe venire $-1$ se il risultato è $1/e$
Sei sicura che quel limite faccia \(1/e\)? A occhio fa \(e\).
"Rigel":
Sei sicura che quel limite faccia \(1/e\)? A occhio fa \(e\).
...infatti ...
si son sicura.. quel limite fa $1/e$ .. ho posto $ S_n = 1/n {log[(n)/(n+1)]+ log[(n)/(n+2)]+.....+ log[(n)/(n+n)] }$ e se provo che $S_n$ va a $-1$ ho concluso..
Va bene, se sei sicura alzo le mani
$x_n = {n^n}/{[(n+1)(n+2)(n+n)]} $ converge a $1/e$ ho riscritto $x_n$ come si vede sopra, e ho scritto $S_n$, il problema è dimostrare come $S_n$ vada a $-1$ .. come faccio con gli integrali generalizzati?
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{[(n+1)!]^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] }}
\end{align*}
essendo
\begin{align*}
\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] = \frac{1}{n}\ln[n!(n+1) ] = \frac{\ln n!}{n}+\frac{\ln(n+1)}{n} \sim \frac{n\ln n-n}{n}+0=\ln n-1
\end{align*}
si ha
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{[(n+1)!]^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] }}\sim\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\ln n-1}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n\cdot e^{-1}}=e
\end{align*}
\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{[(n+1)!]^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] }}
\end{align*}
essendo
\begin{align*}
\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] = \frac{1}{n}\ln[n!(n+1) ] = \frac{\ln n!}{n}+\frac{\ln(n+1)}{n} \sim \frac{n\ln n-n}{n}+0=\ln n-1
\end{align*}
si ha
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{[(n+1)!]^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\frac{1}{n}\ln[(n+1)!] }}\sim\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{e^{\ln n-1}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n\cdot e^{-1}}=e
\end{align*}
"Esposito.sofia":
perchè il mio intento iniziale era dimostrare che $lim_{n->infty} {n}/{[(n+1)!]^{1/n}} = 1/e$ e allora ho posto $ x_n = e^{log[(n)]/[(n+1)!^{1/n}] }$
"Esposito.sofia":
$x_n = {n^n}/{[(n+1)(n+2)(n+n)]!} $ converge a $1/e$ ho riscritto $x_n$ come si vede sopra, e ho scritto $S_n$, il problema è dimostrare come $S_n$ vada a $-1$ .. come faccio con gli integrali generalizzati?
Non è molto chiaro quale limite tu voglia calcolare... Se lo cambi ad ogni post non si capisce molto.
io devo dimostrare che $x_n = n^n/[ (n + 1)(n + 2) ··· (n + n)] $ converge a $1/e$
Devi calcolare quel limite o quello di \(\sqrt[n]{x_n}\)?
Nel secondo caso (il più probabile) il limite vale \(e/4\), nel primo vale \(0\).
Nel secondo caso (il più probabile) il limite vale \(e/4\), nel primo vale \(0\).
devo calcolare il limite di $x_n$, ovvero provare che converge e il limite è $1/e$
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