Passaggio con integrale

[el_pampa1]

Sto studiando una dimostrazione e non riesco a capire un passaggio.
Devo trovare quanto vale l'integrale:
\[
\int_{0}^{\infty} \Psi (\theta) \frac{\sin(T \theta)}{\theta} d\theta
\]
dove \(\Psi (\theta)=e^{- \alpha \theta} f(\theta + t)\) con \(f\) una funzione di ordine esponenziale.
Fanno vedere che è una funzione che posso calcolare solamente tra \(\delta\) e \(X\) con questi rispettivamente abbastanza piccolo e grande.
Fanno vedere poi, integrando per parti, che l'integrale è bounded.
Poi dicono che sapendo che \(\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}\) si ha che:
\[
\lim_{T \to \infty} \int_0^{\infty} \Psi(\theta) \frac{\sin(T \theta)}{\theta} d\theta = \frac{\pi}{2} \Psi(0)
\]
ma perchè?
Io questo passaggio propro non lo capisco...

[kamal1]

ciao,
poniamo $T\theta=u$ quindi $"d"\theta=("d"u)/T$ quindi:
\[
\int_0^\infty \Psi( \theta) \frac{\sin (T\theta)}{\theta}\ \text{d} \theta = \int_0^\infty \Psi \left( \frac{u}{T}\right) \frac{\sin u}{u}\ \text{d}u
\]
facendo tendere $T$ a infinito e dato che \(\Psi\) è continua in $0$ puoi giustificare che si puo invertire $lim_(T->infty)$ e $int_0^infty$ e troverai il risultato facilmente.

[el_pampa1]

Perfetto!! ma quindi mi basta dire che è continua in 0 per poter invertire?