Passaggio alle coordinate polari per un integrale doppio
Buongiorno a tutti!
Sto cercando di capire come effettuare un passaggio alle coordinate polari in un esercizio d'esame di Analisi 2.
Svolgendo infatti vari passaggi si giunge al seguente integrale doppio:
$\int_E xy\quad dxdy$
con
$E=\{(x, y): x^2+y^2\leq 1, 0\leq y \leq \frac{\sqrt{3}}{3}x\}$
Effettuando il passaggio alle coordinate polari ponendo cioè $x = \rho cos(\theta)$ e $y = \rho sin(\theta)$ e sostituendo questi valori nelle condizioni su $(x, y)$ di $E$ si ricava facilmente che $\rho \in [0, 1]$.
Ho però dei problemi a ricavare l'intervallo in cui varia $\theta$. Infatti non capisco come poter ricavare il valore massimo che questo può assumere. Dalle soluzioni accennate che il professore ci ha fornito si ha che $\theta \in [0, \pi/6]$ ma non ho idea di come abbia ricavato quel valore.
Chiedo quindi: come si ricava in questo specifico caso l'intervallo in cui varia $\theta$?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà il tempo e la voglia di aiutarmi.
Sto cercando di capire come effettuare un passaggio alle coordinate polari in un esercizio d'esame di Analisi 2.
Svolgendo infatti vari passaggi si giunge al seguente integrale doppio:
$\int_E xy\quad dxdy$
con
$E=\{(x, y): x^2+y^2\leq 1, 0\leq y \leq \frac{\sqrt{3}}{3}x\}$
Effettuando il passaggio alle coordinate polari ponendo cioè $x = \rho cos(\theta)$ e $y = \rho sin(\theta)$ e sostituendo questi valori nelle condizioni su $(x, y)$ di $E$ si ricava facilmente che $\rho \in [0, 1]$.
Ho però dei problemi a ricavare l'intervallo in cui varia $\theta$. Infatti non capisco come poter ricavare il valore massimo che questo può assumere. Dalle soluzioni accennate che il professore ci ha fornito si ha che $\theta \in [0, \pi/6]$ ma non ho idea di come abbia ricavato quel valore.
Chiedo quindi: come si ricava in questo specifico caso l'intervallo in cui varia $\theta$?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà il tempo e la voglia di aiutarmi.
Risposte
Ciao Tregon,
Beh, è semplice: sostituisci $ x = \rho cos\theta $ e $y = \rho sin\theta $ nella $0 \le y \le \frac{\sqrt{3}}{3}x $ e poi dividi tutto per $\rho $ sicché si ottiene $0 <= sin\theta <= \frac{\sqrt{3}}{3} cos\theta $, che è una semplice disequazione trigonometrica...
Beh, è semplice: sostituisci $ x = \rho cos\theta $ e $y = \rho sin\theta $ nella $0 \le y \le \frac{\sqrt{3}}{3}x $ e poi dividi tutto per $\rho $ sicché si ottiene $0 <= sin\theta <= \frac{\sqrt{3}}{3} cos\theta $, che è una semplice disequazione trigonometrica...
Ciao pilloeffe, grazie per la risposta.
Ho provato a risolverla e mi viene qualcosa di tremendamente diverso da $\pi/6$, probabilmente devo rivedere come si risolvono le disequazioni trigonometriche. Grazie ancora!
Ho provato a risolverla e mi viene qualcosa di tremendamente diverso da $\pi/6$, probabilmente devo rivedere come si risolvono le disequazioni trigonometriche. Grazie ancora!
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