Passaggio alla forma differenziale

[mobley]

Data la funzione $ y(t,T):=\int_(t)^(T)f(t,s)ds $, come ottengo $dy(t,T)$?
Il problema nasce dal fatto che una delle variabili della funzione è anche estremo di integrazione. Qualche hint?

[Bokonon]

Ci provo ma non assicuro nulla.

Applicando le definizioni
$dy(t,T)=y_T(t,T)dT+y_t(t,T)dt$

$ y(t,T)=int_(t)^(T)f(t,s)ds= int_(0)^(T)f(t,s)ds-int_(0)^(t)f(t,s)ds$

Da cui per quanto strano dovrebbe seguire:
$dy(t,T)=f(t,T)dT-f(t,t)dt$

Sentiamo cosa dicono gli alri.

[dissonance]

@Bokonon; manca un addendo, devi derivare f sotto il segno di integrale.

[Bokonon]

@dissonance
$dy(t,T)=f(t,T)dT-f(t)f^{\prime}(t)dt$

Così va bene?
Perchè in effetti dipende solo da t.

E forse a questo punto si può semplificare in $dy(t,T)=f(t,T)dT-f(t)df(t)$ ?

[dissonance]

No, ancora non ci siamo, il risultato corretto è questo:
\[
dy=f(t, T)\, dT + \left( \int_t^T \partial_t f(t, s)\, ds -f(t,t)\right)\, dt.\]

[Bokonon]

Uh hai ragione, ho mangiato e bevuto troppo stasera. Ero così preso dal secondo integrale che non ho guardato che anche il primo dipende da t ed ho delirato sul fatto di derivare a catena il secondo.

P.S. Però l'integrale lo metterei fra 0 e T, no?

[mobley]

Grazie mille per le risposte ragazzi, preziosi come sempre!
@dissonance: puoi spiegarmi in dettaglio come sei arrivato a derivare il secondo integrale in quel modo? Potrebbe tornarmi utile qualora dovessero ripresentarsi casi simili.

[dissonance]

Ne abbiamo parlato varie volte su questo forum, comunque in breve fai così: definisci
\[
F(t, T, \tau):=\int_t^T f(\tau, s)\, ds, \]
(nota che abbiamo aggiunto una variabile, \(\tau\)) e calcola la derivata della funzione di una sola variabile
\[
t\mapsto F(t, T, t), \]
usando la regola della catena.

@Bokonon: anche a me capita di mangiare e bere troppo.

[Bokonon]

In effetti è più semplice: con una variabile dummy, ci si incasina di meno. Me lo ricorderò