Passaggio al limite sotto segno di integrale
Buongiorno!
Ho un problema con un esercizio di analisi; mi si chiede di calcolare $\lim_{n \to \infty}\int_{-1}^{1} [e^(-(x^2)/n)]/(1+x^2) dx$.
Ora so che per il passaggio al limite sotto il segno di integrale sono necessarie due ipotesi:
-uniforme convergenza della $f_n(x)$ nell'intervallo
-equidominatezza
Sull'uniforme convergenza non ci sono molti problemi, sono riuscito a dimostrare che quella $f$ converge, il problema è l'equidominatezza: non riesco a trovare una $g(x)$ tale che $|f_n(x)|<=g(x)$ con $g(x)$ a integrale convergente; non riesco a capire come costruirmi una funzione con queste proprietà, o meglio non riesco a immaginarmi come deve essere fatta tale funzione $g$. Spero in un vostro aiuto!
Luca
Ho un problema con un esercizio di analisi; mi si chiede di calcolare $\lim_{n \to \infty}\int_{-1}^{1} [e^(-(x^2)/n)]/(1+x^2) dx$.
Ora so che per il passaggio al limite sotto il segno di integrale sono necessarie due ipotesi:
-uniforme convergenza della $f_n(x)$ nell'intervallo
-equidominatezza
Sull'uniforme convergenza non ci sono molti problemi, sono riuscito a dimostrare che quella $f$ converge, il problema è l'equidominatezza: non riesco a trovare una $g(x)$ tale che $|f_n(x)|<=g(x)$ con $g(x)$ a integrale convergente; non riesco a capire come costruirmi una funzione con queste proprietà, o meglio non riesco a immaginarmi come deve essere fatta tale funzione $g$. Spero in un vostro aiuto!
Luca
Risposte
a me risulta che sia sufficiente che l'intervallo di integrazione sia limitato e che ci sia la convergenza uniforme
se hai dimostrato quest'ultima sei a posto
se hai dimostrato quest'ultima sei a posto
Dalla formulazione in mio possesso :
Sia $f_n : [a,b] -> RR$ una successione di funzioni continue. Supponiamo che $f_n$ converga uniformemente ad $f : [a,b] -> RR$. Allora $lim_n \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx $.
Infatti, considera la diseguaglianza
$| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx|=| \int_a^b (f_n(x) dx - f(x) )dx|<= \int_a^b |(f_n(x) - f(x) )|dx <= $
$\int_a^b SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )|dx = SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| \int_a^b dx = SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| (b-a) $
Per l'uniforme convergenza hai che $SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| -> 0 => | \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx| -> 0 $; quindi la tesi.
Sia $f_n : [a,b] -> RR$ una successione di funzioni continue. Supponiamo che $f_n$ converga uniformemente ad $f : [a,b] -> RR$. Allora $lim_n \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx $.
Infatti, considera la diseguaglianza
$| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx|=| \int_a^b (f_n(x) dx - f(x) )dx|<= \int_a^b |(f_n(x) - f(x) )|dx <= $
$\int_a^b SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )|dx = SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| \int_a^b dx = SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| (b-a) $
Per l'uniforme convergenza hai che $SUp_{x\in[a,b]}|(f_n(x) - f(x) )| -> 0 => | \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx| -> 0 $; quindi la tesi.
Mi complicavo la vita! Purtroppo non ho un professore molto attendibile 
Grazie mille per l'aiuto!!
Grazie mille per l'aiuto!!
Hai confuso due distinti teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale, quello per successioni uniformemente convergenti e quello della convergenza dominata.
Il primo si applica per successioni di funzioni Riemann-integrabili uniformemente convergenti (non sono richieste altre ipotesi) il secondo si applica per successioni di funzioni misurabili convergenti (puntualmente) con gli elementi della successione dominati quasi ovunque da una stessa funzione integrabile.
L'idea di fondo è: in generale per poter invertire i passaggi al limite serve una qualche forma di uniformità, se hai un'uniformità "forte" come la convergenza uniforme non ti serve nient'altro, se la convergenza è solo puntuale la "minima uniformità richiesta" è l'esistenza di una funzione integrabile che domini quasi ovunque tutti gli elementi della successione (oltre a servirti una teoria dell'integrazione più raffinata di quella di Riemann).
Il primo si applica per successioni di funzioni Riemann-integrabili uniformemente convergenti (non sono richieste altre ipotesi) il secondo si applica per successioni di funzioni misurabili convergenti (puntualmente) con gli elementi della successione dominati quasi ovunque da una stessa funzione integrabile.
L'idea di fondo è: in generale per poter invertire i passaggi al limite serve una qualche forma di uniformità, se hai un'uniformità "forte" come la convergenza uniforme non ti serve nient'altro, se la convergenza è solo puntuale la "minima uniformità richiesta" è l'esistenza di una funzione integrabile che domini quasi ovunque tutti gli elementi della successione (oltre a servirti una teoria dell'integrazione più raffinata di quella di Riemann).
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