Passaggio al limite sotto il segno di integrale , Lebesgue
In molti esercizi di limiti di successioni di distribuzioni di funzioni mi riduco al dimostrare il passaggio al limite sotto il segno di integrale, cioè mi basta trovare una una funzione localmente sommabile (grazie al fatto che ho e funzioni test che sono a supporto compatto) che mi maggiori il temine integrando, vi riporto un esempio semplice :
se ho la seguente funzione di distribuzione
$ (1)/(1+ n^2*t^2) $ considero $ lim_(n -> +oo)<1/(1+n^(2)*t^(2)),test(t)> -> lim_(n -> +oo)int_(-oo)^(+oo) 1/(1+n^2*t^2)*test(t)dt $
adesso devo dimostrare
$ |1/(1+n^2*t^2)*test(t)|<= |max(test(t))* 1|, AAt , AAn $
per la funzione test non ci sono problemi basta prendere il max sul suo supporto, invece trovo problemi per la successione di distribuzion, in questo caso è stato semplice perchè il max era in t=0 e ottengo una costante che è localmente sommabile , ma in casi come questo :
$ (n*t)/(1+n^2*t^2) $ si vede ad occhio che è decrescente ecc ecc ma come gli dimostro che è limitata con una funzione localmente sommabile indipendente da n e t?
Questi stessi problemi li riscontro negli esercizi dove devo dimostrare la che converge alla delta di Dirac in quei casi sfrutto il fatto che le funzioni test sono Lipschitziane ma trovo problemi con la funzione distribuzione .
se ho la seguente funzione di distribuzione
$ (1)/(1+ n^2*t^2) $ considero $ lim_(n -> +oo)<1/(1+n^(2)*t^(2)),test(t)> -> lim_(n -> +oo)int_(-oo)^(+oo) 1/(1+n^2*t^2)*test(t)dt $
adesso devo dimostrare
$ |1/(1+n^2*t^2)*test(t)|<= |max(test(t))* 1|, AAt , AAn $
per la funzione test non ci sono problemi basta prendere il max sul suo supporto, invece trovo problemi per la successione di distribuzion, in questo caso è stato semplice perchè il max era in t=0 e ottengo una costante che è localmente sommabile , ma in casi come questo :
$ (n*t)/(1+n^2*t^2) $ si vede ad occhio che è decrescente ecc ecc ma come gli dimostro che è limitata con una funzione localmente sommabile indipendente da n e t?
Questi stessi problemi li riscontro negli esercizi dove devo dimostrare la che converge alla delta di Dirac in quei casi sfrutto il fatto che le funzioni test sono Lipschitziane ma trovo problemi con la funzione distribuzione .
Risposte
ciao
forse in questo caso particolare potresti usare il seguente fatto:
$(1 - nt)^2 \geq 0$ da cui ricavi $1 + n^2t^2 \geq 2nt$ e maggiorando nella tua funzione $\frac{nt}{1 + n^2t^2} <= \frac{1 + n^2t^2}{2(1 + n^2t^2)} = \frac{1}{2}$.
Però è solo un caso particolare e ti offre SOLO la sommabilità LOCALE (che non dovrebbe essere un problema però visto che hai le funzioni test). non credo ci sia un metodo generale, almeno non che io sappia, che non coinvolga la teoria sugli $L^p$ e simili.
forse in questo caso particolare potresti usare il seguente fatto:
$(1 - nt)^2 \geq 0$ da cui ricavi $1 + n^2t^2 \geq 2nt$ e maggiorando nella tua funzione $\frac{nt}{1 + n^2t^2} <= \frac{1 + n^2t^2}{2(1 + n^2t^2)} = \frac{1}{2}$.
Però è solo un caso particolare e ti offre SOLO la sommabilità LOCALE (che non dovrebbe essere un problema però visto che hai le funzioni test). non credo ci sia un metodo generale, almeno non che io sappia, che non coinvolga la teoria sugli $L^p$ e simili.
"e^iteta":
ciao
forse in questo caso particolare potresti usare il seguente fatto:
$(1 - nt)^2 \geq 0$ da cui ricavi $1 + n^2t^2 \geq 2nt$ e maggiorando nella tua funzione $\frac{nt}{1 + n^2t^2} <= \frac{1 + n^2t^2}{2(1 + n^2t^2)} = \frac{1}{2}$.
Però è solo un caso particolare e ti offre SOLO la sommabilità LOCALE (che non dovrebbe essere un problema però visto che hai le funzioni test). non credo ci sia un metodo generale, almeno non che io sappia, che non coinvolga la teoria sugli $L^p$ e simili.
Grazie tante da solo non ci sarei mai arrivato
Vedrò di essere più aperto nei ragionamenti di questo tipo.
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