Passaggio al limite sotto il segno di integrale (analisi reale)
Cari ragazzi, volevo un'informazione: un esercizio mi chiede di calcolare il
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x} e^{ -x^2} dx \)
ho un'idea ma volevo chiedere se è corretta: essendo il \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)
allora è vero che:
\(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} < \frac{1}{2}\)
e quindi \(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} x e^{ -x^2} < \frac{x}{2} e^{ -x^2}\)
per cui posso usare il teorema di convergenza dominata?
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x} e^{ -x^2} dx \)
ho un'idea ma volevo chiedere se è corretta: essendo il \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)
allora è vero che:
\(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} < \frac{1}{2}\)
e quindi \(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} x e^{ -x^2} < \frac{x}{2} e^{ -x^2}\)
per cui posso usare il teorema di convergenza dominata?
Risposte
La maggiorazione mi pare corretta e quindi l'applicazione del thm di convergenza dominata è giustificata. Tuttavia non mi è chiaro come fai a dedurre che
La disuguaglianza è certamente vera ma merita un po' di commento (anche perché non basta il limite notevole per dedurla, bisogna usare, ad esempio, lo sviluppo al quarto ordine e fare qualche considerazione sul segno dell'ultimo pezzo...).
"Rosy1993":
\( \displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} < \frac{1}{2} \)
La disuguaglianza è certamente vera ma merita un po' di commento (anche perché non basta il limite notevole per dedurla, bisogna usare, ad esempio, lo sviluppo al quarto ordine e fare qualche considerazione sul segno dell'ultimo pezzo...).
Giusto, era proprio quella disuguaglianza che non mi convinceva... Allora seguendo il tuo suggerimento procedo così:
\(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} = \frac{1 - 1 + \frac{x^2}{2n^2} - \frac{x^4}{4!n^4}}{\frac{x^2}{n^2}} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!n^2}\)
Ora certamente \(\displaystyle \frac{x^2}{4!n^2} \) è una quantità positiva per ogni x e per ogni n, e perciò posso maggiorare con \(\displaystyle \frac{1}{2} \) è esatto? Grazie mille
\(\displaystyle \frac{1-cos(\frac{x}{n})}{\frac{x^2}{n^2}} = \frac{1 - 1 + \frac{x^2}{2n^2} - \frac{x^4}{4!n^4}}{\frac{x^2}{n^2}} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!n^2}\)
Ora certamente \(\displaystyle \frac{x^2}{4!n^2} \) è una quantità positiva per ogni x e per ogni n, e perciò posso maggiorare con \(\displaystyle \frac{1}{2} \) è esatto? Grazie mille
Sì, va bene (potevi più semplicemente ottenere la maggiorazione da
\[
\cos x= 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \ldots
\]
\[
\cos x= 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \ldots
\]
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